ELEMENTOS: 070-Progressão Mista

A álgebra é generosa: freqüentemente ela dá mais do que se lhe pediu.

D'Alembert

Definição

Dados

$a_1 \in \mathbb{R}$

$q\in \mathbb{R}-\left{1,0 \right}$

$r$ e $r^'$ $\in \mathbb{R}-\left{0 \right}$

progressão mista é a sequência numérica $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}$ , onde

Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante $q$ e mais uma constante $r$ , ou seja

$a_n=a_{n-1}q+r$

Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante $r^'$ e vezes uma constante $q$ , ou seja,

$a_n=(a_{n-1}+r^{'})q$

As constantes $q$ e $r$ ( ou $r^'$ ) são denominadas razão multiplicativa e aditiva da progressão mista, respectivamente.

O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos

$a_n=(a_{n-1}+r^{'})q=a_{n-1}q+r^{'}q$ , com

$r=r^{'}q$

Logo, para cada $r$ onde $a_n=(a_{n-1}+r^{'})q$ , existirá um $r^'$ tal que $a_n=(a_{n-1}+r^{'})q$ . De fato, pois $r^{'}=\frac{r}{q}$ .

Adotaremos a primeira definição com $a_n=a_{n-1}q+r$ .

Exemplo

Sejam $a_1=3$ , $q=2$ e $r=14$ .

Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com $r=14$ e com $r^{'}=\frac{r}{q}=\frac{14}{2}=7$ .

$a_1=3$

$a_2=a_1.2+14= 3.2+14=20$ ou $a_2=(a_1+7).2=(3+7).2=20$

$a_3=a_2.2+14=20.2+14=54$ ou $a_3=(a_2+7).2=(20+7).2=54$

$a_4=a_3.2+14=54.2+14=122$ ou $a_4=(a_3+7).2=(54+7).2=122$

Cálculo das razões $q$ e $r$

Do sistema

$a_{n+1}=a_nq+r$

$a_{n}=a_{n-1}q+r$

tiramos

$a_{n+1}-a_n=q(a_n-a_{n-1}) \Rightarrow$

$q=\fra{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}}$

com

$r=a_{n+1}-a_n.q$

( fornecida pela primeira equação do sistema )

Assim, precisamos de três termos consecutivos $a_{n-1}$ , $a_n$ e $a_{n+1}$ para acharmos as razões $q$ e $r$ da progressão mista.

Exemplo

Calcular as razões da progressão mista $(4,17,56,...)$ . Temos, então, $a_1=4$ , $a_2=17$ e $a_3=56$ . Logo,

$q=\frac{a_3-a_2}{a_2-a_1}=\frac{56-17}{17-4}=\frac{39}{13}=3$

$r=a_3-a_2.q=56-17.3=56-51=5$

Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em $PA$ ou $PG$ , então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.

Fórmula do termo geral

Pela relação $a_n=a_{n-1}q+r$ , temos

$a_2=a_1q+r$

$a_3=a_2q+r=(a_1q+r)q+r=a_1q^2+qr+r$

$a_4=a_3q+r=(a_1q^2+qr+r)q+r=a_1q^3+q^2r+qr+r$

$a_5=a_4q+r=(a_1q^3+q^2r+qr+r)q+r=a_1q^4+q^3r+q^2r+qr+r$

$[;..................................................................................................................;]$ $[;..............................;]$

$a_n=a_1q^{n-1}+(q^{n-2}+q^{n-3}+...+qr+1).r \Rightarrow$

$a_n=a_1q^{n-1}+\left(\frac{q^{n-1}-1}{q-1} \right).r$

Exemplos

Assim, a sequência do primeiro exemplo $(3,20,54,...)$ , com $a_1=3$ , $q=2$ e $r=14$ fica

$a_n=3.2^{n-1}+\left(\frac{2^{n-1}-1}{1}\right).14$

Enquanto que a sequência do segundo exemplo $(4,17,56,...)$ , com $a_1=3$ , $q=3$ e $r=5$ tem a forma

$a_n=3.3^{n-1}+\left(\frac{3^{n-1}-1}{2}\right).5$

Considerações sobre o termo geral - forma sintética

Com um pequeno rearranjo, a fórmula $a_n=a_1q^{n-1}+\left(\frac{q^{n-1}-1}{q-1} \right).r$ se transforma em

$a_n=\left[\frac{a_1}{q}+\frac{r}{q(q-1)}\right].q^n-\frac{r}{q-1}$

e chegamos a forma sintética $a_n=A.B^n+C$ , com

$A=\left[\frac{a_1}{q}+\frac{r}{q(q-1)}\right]$ , $B=q$ e $C=-\frac{r}{q-1}$

Na forma sintética, temos

$a_1=AB+C$ , $a_2=AB^2+C$ e $a_3=AB^3+C$

Assim,

$q=\frac{a_3-a_2}{a_2-a_1}=\frac{(AB^3-C)-(AB^2+C)}{(AB^2+C)-(AB+C)} \Rightarrow$

$q=B$

$r=a_3-a_2.q=(AB^3+C)-(AB^2+C).B \Rightarrow$

$r=-(B-1)C$

Exemplos $(a_n=AB^n+C)$

$a_n=2^n+1 \rightarrow (3,5,9,...)$ , com $A=1$ , $B=2$ e $C=1$

$q=B=2$

$r=-(B-1)C=-(2-1)1=-1$

$a_n=2^n-1 \rightarrow (1,3,7...)$ , com $A=1$ , $B=2$ e $C=-1$

$q=B=2$

$r=-(B-1)C=-(2-1)(-1)=1$

$a_n=2.3^n+4 \rightarrow (10,22,58...)$ , com $A=2$ , $B=3$ e $C=4$

$q=B=3$

$r=-(B-1)C=-(3-1)(4)=-8$

Curiosidades

A fórmula que fornece a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica ( $PG$ ), de primeiro termo $a_1$ e razão $q \neq 1$ , ou seja, $S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1}$ , é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,

$b_n=S_n=\frac{a_1}{q-1}.q^n-\frac{a_1}{q-1}=A.B^n+C$

com $A=\frac{a_1}{q-1}$ , $B=q$ e $C=-\frac{a_1}{q-1}$ , sendo

$b_1=a_1$

$q=B$

$r=-(B-1)C=-(q-1)\left(-\frac{a_1}{q-1} \right)=a_1$

A sequência constante $(1,1,1,...)$ pode ser interpretada como uma progressão mista com $a_1=1$ , $q=sen^2(\alpha)$ e $r=cos^2(\alpha)$ ou vice-versa, sendo que estas razões não são únicas. Qual forma geral destas razões para $(k,k,k,...)$ ?

Sugestão de pesquisa

Qual o processo de formação da sucessão numérica gerada pelo termo geral

$a_n=A.B^{n^2}+C.D^n+E$ ?

Gostará de ler também:

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

012-Progressão Geométrica de Ordem Superior

067-Progressão Geométrica de Segunda Ordem

Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.

Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm

4 comentários:

tavano13 de setembro de 2012 às 10:09
Oi Teixeira!Suponhamos que eu tome um empréstimo de a0 reais em n prestações mensais a uma taxa de i% ao mês e os juros correm todo mês. Eu pago todo mês uma prestação de r reais. Qual a dívida que eu tenho em cada mês? Seja q=1+i/100, a dívida do primeiro mês é a1=a0q - r, a dívida do segundo mês é a2=a1q - r. Se não soubermos o valor da prestação para calcularmos basta igualar a dívida a zero no termo geral. abçs
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Aloisio Teixeira13 de setembro de 2012 às 10:42
Oi, Tavano!

Muita boa esta aplicação de progressão mista. Seu comentário foi um complemento essencial ao post.

Desconfio que, se existisse fórmula fechada para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de segunda ordem, então ela seria parecida com a equação da sugestão para pesquisa que dei ao final do artigo.

Sobre soma de dois quadrados da forma a^2+b^2=4k+1, me enganei a respeito do livro que tenho, pois eram apenas teoremas de existência. Mas no blog FATOS MATEMATICOS, temos uma matéria interessante sobre isto.

Veja em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/representacao-dos-naturais-como-soma-de.html.

O artigo também foi publicado no Carnaval UBM 14.

Valeu, um abraço.
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Anônimo24 de outubro de 2012 às 21:26
O latex não tá funcionando! :O
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quarta-feira, 12 de setembro de 2012

070-Progressão Mista

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V.O