progressão mista é a sequência numérica
, onde
Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante
e mais uma constante
, ou seja
Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante
e vezes uma constante
, ou seja,
As constantes
e
( ou
) são denominadas razão multiplicativa e aditiva da progressão mista, respectivamente.
O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos
Logo, para cada
onde
, existirá um
tal que
. De fato, pois
.
Adotaremos a primeira definição com
.
Adotaremos a primeira definição com
Exemplo
Sejam
,
e
.
Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com
Cálculo das razões
e ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?r)
Do sistema
tiramos
com
( fornecida pela primeira equação do sistema )
Assim, precisamos de três termos consecutivos
,
e
para acharmos as razões
e
da progressão mista.
Calcular as razões da progressão mista
. Temos, então,
,
e
. Logo,
Exemplo
Calcular as razões da progressão mista
Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em
ou
, então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.
Pela relação
, temos
![.................................................................................................................. [;..................................................................................................................;]](https://thewe.net/tex/..................................................................................................................)
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n%3Da_1q%5E%7Bn-1%7D+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bq%5E%7Bn-1%7D-1%7D%7Bq-1%7D%20%5Cright%29.r)
Fórmula do termo geral
Pela relação
Exemplos
Assim, a sequência do primeiro exemplo
, com
,
e
fica
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n%3D3.3%5E%7Bn-1%7D+%5Cleft%28%5Cfrac%7B3%5E%7Bn-1%7D-1%7D%7B2%7D%5Cright%29.5)
, com
,
e ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?C%3D1)
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?r%3D-%28B-1%29C%3D-%282-1%291%3D-1)
, com
,
e
Enquanto que a sequência do segundo exemplo
, com
,
e
tem a forma
Considerações sobre o termo geral - forma sintética
Com um pequeno rearranjo, a fórmula
se transforma em
,
e
e chegamos a forma sintética
, com
,
e
Na forma sintética, temos
Assim,
Exemplos ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28a_n%3DAB%5En+C%29)
Curiosidades
A fórmula que fornece a soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica (
), de primeiro termo
e razão
, ou seja,
, é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,
com
,
e
, sendo
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?b_1%3Da_1)
A sequência constante
Sugestão de pesquisa
Gostará de ler também:
Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.
Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm
Oi Teixeira!Suponhamos que eu tome um empréstimo de a0 reais em n prestações mensais a uma taxa de i% ao mês e os juros correm todo mês. Eu pago todo mês uma prestação de r reais. Qual a dívida que eu tenho em cada mês? Seja q=1+i/100, a dívida do primeiro mês é a1=a0q - r, a dívida do segundo mês é a2=a1q - r. Se não soubermos o valor da prestação para calcularmos basta igualar a dívida a zero no termo geral. abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirMuita boa esta aplicação de progressão mista. Seu comentário foi um complemento essencial ao post.
Desconfio que, se existisse fórmula fechada para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de segunda ordem, então ela seria parecida com a equação da sugestão para pesquisa que dei ao final do artigo.
Sobre soma de dois quadrados da forma a^2+b^2=4k+1, me enganei a respeito do livro que tenho, pois eram apenas teoremas de existência. Mas no blog FATOS MATEMATICOS, temos uma matéria interessante sobre isto.
Veja em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/representacao-dos-naturais-como-soma-de.html.
O artigo também foi publicado no Carnaval UBM 14.
Valeu, um abraço.
Caro Teixeira! Embora o blog indicado não tenha a resposta, como sempre no "FATOS MATEMÁTICOS" aprendi muito sobre o assunto (a^2+b^2=P). O motivo da pergunta é que eu tinha desenvolvido um método para achar "a" e "b" e embora não tivesse conseguido demonstrá-lo estava convencido de que funcionava, ontem percebi o porquê, achei um contraexemplo para p=89. O método era interessante: Dado p=4k+1 (por exemplo 41) eu devia encontrar j tal que j^2+1==0(mód p)(para p=41, j=9)encontrado j (um pouco difícil e trabalhoso) eu dividia p por j e o quociente e o resto dessa divisão eram o "a" e o "b" (no caso para 41=9.4 + 5=>4^2 + 5^2=41) Talvez ainda dê para consertar. Obs há dois "jotas" toma-se o menor. Obrigado pelo espaço. Abçs.
ExcluirO latex não tá funcionando! :O
ResponderExcluir