Seja a sucessão numérica
Defino a função
como o número de subsequências de
termos ( com
) contidas em
, que estejam em progressão aritmética
, com razão inteira ![r>0 [;r>0;]](http://thewe.net/tex/r%3E0)
Por exemplo, com
, temos
e as
crescentes de
termos contidas em
são
Logo, ![A(5,3)=4 [;A(5,3)=4;]](http://thewe.net/tex/A%285,3%29=4)
Neste caso temos apenas três valores para
, tendo em vista que
. Verifiquem que os outros dois valores são
e
.
A fórmula para
é
onde
é a parte inteira de ![\frac{m-1}{k-1} [;\frac{m-1}{k-1};]](http://thewe.net/tex/%5Cfrac%7Bm-1%7D%7Bk-1%7D)
Demonstração
A razão
Existe uma progressão aritmética de último termo
Onde
é o maior dos primeiros termos de todas as
de razão
contidas em
, ou seja
Consequentemente, o número de
de
termos e de razão
contidos em
é exatamente:
No entanto, com o mesmo número de termos
, a sucessão
pode suportar outras
de razões diferentes e como vimos, estas razões variam no intervalo
. Logo,
Exemplos
Sejam
Temos que o número de
Mas como as razões variam no intervalo
Para
Para
Assim,
Sejam
Temos que o número de
Como
Assim, ![A(897,13)=\sum_{r=1}^{74} 897-12r [;A(897,13)=\sum_{r=1}^{74} 897-12r;]](http://thewe.net/tex/A(897,13)=\sum_{r=1}^{74} 897-12r)
Mas,
Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.
Imagem: http://www.bolsadearte.com/a-empresa/creditos/
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