domingo, 23 de setembro de 2012

072-François Viète


O matemático amador francês François Viète [;(1540-1603);] ou Franciscus Vieta ( em latim ) fez profundas contribuições à aritmética, álgebra e trigonometria. Foi conteporâneo dos italianos Galileu Galileu [;(1564-1642);] e Bonaventura Cavalieri [;(1598-1647);] ; do escocês Jonh Napier [;(1550-1617);] e do alemão Johannes Kepler [;(1571-1630);].

Viète nasceu em Fontenay e faleceu em Paris. Desde cedo, foi um homem das leis e fazia pesquisa matemática nas horas de lazer. Posteriormente, este estilo de vida seria seguido por aquele que ficaria conhecido como o príncipe dos amadores, o juiz de direito Pierre de Fermat [;(1601-1665);].

Quando tornou-se membro do conselho do rei Henrique de Navarra, Viète utilizou sua excepcional habilidade matemática para decifrar as mensagens em código do inimigo, de forma que os espanhóis levantaram a hipótese de bruxaria.

Em sua obra publicada em [;1579;] Canon-Mathematicus, François defendeu o uso das frações decimais no lugar das sexagesimais.

Suas contribuições foram maiores na álgebra. Foi o primeiro matemático a utilizar classes diversas de letras para diferenciar coeficientes ( vogais ) e incógnitas ( consoantes ).  No entanto, utilizava símbolos com abreviações. [;A^2;] para ele era [;A;] quatratus e [;A^3;] era [;A;] cubus, por exemplo. Atacou as equações cúbicas de forma original resolvendo-as através de substituições algébricas ou trigonométricas. Vejamos um esboço de sua estratégia em notação moderna. Da equação cúbica reduzida

[;x^3+3ax=b;] (1)

Viète utilizou uma nova variável [;y;]através da relação [;y^2+xy=a;] que transforma (1) em uma equação quadrática em [;y^3;], de fácil resolução.

Ou, então, usava a identidade trigonométrica [;\cos^3(\theta)-\frac{3}{4}\cos(\theta)-\frac{1}{4}\cos(3 \theta)=0;], para resolver as cúbicas do tipo [;x^3+3px+q=0;] pela substituição [;x=\frac{\cos(\theta)}{m};] e posterior comparação, de forma que [;m;] e [;\theta;] são encontrados e em seguida [; x;].

Em trigonometria, empregou  a sofisticada identidade algébrica

[;(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(bd-ac)^2=(ad-bc)^2+(bd+ac)^2;]

para deduzir as fórmulas do seno e cosseno para ângulos múltiplos:

[;sen(nx)=ncos^{n-1}(x) \ sen(x)-{ n \choose 3}cos^{n-3}(x) \ sen^3 (x)+...;]

[;\cos(nx)=cos^n(x)-{ n \choose 2}cos^{n-2}(x)sen^2 (x)+{n \choose 4}cos^{n-4}(x)sen^4(x)-...;]

Com sua perspicácia em aliar álgebra e trigonometria, Viète conseguiu novos resultados mostrando que a matemática está interligada em suas partes e, possivelmente, inspirou René Descartes [;(1596-1650);] na invenção da  geometria analítica (álgebra + geometria).


Referência bibliográfica: História da Matemática de Carl.B.Boyer, Editora Edigard Blücher LTDA, 1974.

Imagem: http://matematicapegandofogo.blogspot.com.br/2012/02/8-ano-introducao-algebra-monomios.html

8 comentários:

  1. Viète foi uma figura importantíssima na História da Matemática, com contribuições significativas na universalização da simbologia matemática.

    Gostei bastante do texto, de fácil leitura e com muitas informações, que para o leitor curioso procure se aprofundar um pouco mais.

    Me fascina toda essa evolução e como eram criativos na hora de resolverem problemas.

    Um grande abraço!

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    1. Oi, Kleber!

      Eu ainda estou a procura das demonstrações das fórmulas dos senos e cossenos para ângulos múltiplos, pelo modo de Viète. Se souber de algum material...

      Eu mesmo sou o leitor curioso citado por vc que deseja se aprofundar. Assim como em construções geométricas que resolvam equações difíceis.

      Obrigado pelos elogios e correção.

      Outro grande abraço!

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  2. Aloísio, não conheço nenhum livro que tenha este material. De qualquer forma, há poucos dias encontrei um site suíço que digitaliza obras históricas e publica no site. É possível também baixar em pdf. Veja este link sobre Viète:

    http://www.e-rara.ch/search/quick?query=vi%C3%A8te

    Procure outros autores lá, tem muita coisa boa.

    Abraços.

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  3. Olá,Aloisio. É inegável a criatividade de Viète e suas extensas contribuições na matemática, e isto ainda se torna mais interessante, devido a sua condição de amador. Lembro-me de ter tido o primeiro contato com a biografia de Viète no livro "O Romance das Equações Algébricas", ao qual contém um capítulo destinado à discussão das equações cúbicas, e as desavenças entre Viète e Tartaglia, oque inclusive sugere que Viète não era uma pessoa muito confiável nem ética.
    Enfim,parabéns mais uma vez.
    Abraços!

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    1. Oi, Diogo!

      Este livro "O Romance..." é excelente! Ganhei-o de presente em 1998. Leitura agradalíssima, uma grande iniciativa do engenheiro eletrônico Gilberto G.Garbi.

      Viéte foi um gênio sem dúvida pois tinha as características de um: talento e muita capacidade de concentração e trabalho.

      Obrigado, Diogo, até mais!

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  4. Obrigado pelo post, adorei o tema.
    Bem, não consigo ver uma maneira simples de expandir sen(nx) e cos(nx) que não seja utilizando o teorema de De Moivre. Basta pegar cos(n.x)+i.sen(n.x)=( cosx + i.senx )^n e expandir o segundo termo por binômio de Newton, a expansão surgirá naturalmente. Outra maneira de provar é por indução. Mas estou insastifeito com isso, gostaria de uma prova mais elementar (adoraria uma geométrica).
    Hugo/hugocito

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  5. De nada, nobre Hugo!

    Obrigado pelas dicas de expansão das funções trig.

    Acho que o método que Viéte utilizou foi algébrico-geométrico.

    Valeu, amigo!

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