Dado
, número de Fermat é todo inteiro positivo da forma
Seus primeiros cinco valores são todos primos:
Em
, Fermat
, em correspondência, via Mersene
, com ilustres matemáticos de Paris, entre eles Descartes
e Pascal
, conjecturou que
é primo para todo inteiro
. Mas, em
, Euler
provou que
é composto. Além disso, até hoje, não se conseguiu encontrar outros números de Fermat que sejam primos, depois dos cinco primeiros. Portanto, a conjectura atual é que todos os
sejam compostos.
Teorema
. O número de Fermat
é composto.
Sejam
e
Assim,
E ainda, ![1+ab-b^4=1+b(a-b^3)=1+5(128-125)=2^4 [;1+ab-b^4=1+b(a-b^3)=1+5(128-125)=2^4;]](http://thewe.net/tex/1+ab-b%5E4=1+b%28a-b%5E3%29=1+5%28128-125%29=2%5E4)
Mas,
Logo,
divide ![F_5=2^{2^5}=4294967297 [;F_5=2^{2^5}=4294967297;]](http://thewe.net/tex/F_5=2%5E%7B2%5E5%7D=4294967297)
Teorema
. Os números de Fermat verificam a igualdade
Demonstração
Agora, se multiplicarmos o segundo membro por
, isto desencadeará uma série de produtos notáveis da forma
em um efeito "dominó" que sintetizará toda a expressão. Observem:
Teorema
. Dois números quaisquer de Fermat não possuem divisores primos comuns, ou seja, se
, então
.
Demonstração
Suponha
. Seja
. Como
é ímpar, segue-se que
também é ímpar, pois não necessita de nenhum fator
para cancelamento com
ou
, já que é divisível (MDC). Calculemos
Para melhor visualização dos cálculos, vamos fazer
e
. Então fica
conforme a fórmula da soma dos
termos de uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. Se não, vejamos:
( lembrem-se que
e, portanto, par ).
Assim, o segundo membro da expressão
é inteiro. Portanto,
divide
;
Como
divide
, segue-se que
divide
, ou seja,
é inteiro;
Mas,
divide
e, portanto,
divide
. Como já vimos que
é ímpar, só nos resta
, já que estamos tratando de inteiros positivos.
Logo,
.
Reparem os leitores, na tabela do início do post, que
,
e
terminam em
. Será que
termina em
para todo
? Segue o teorema.
Teorema
. O algarismo das unidades do número de Fermat
é
para todo
.
Demonstração
É fácil provar por indução que
(mod
), para todo
. Logo,
Algumas outras propriedades dos números de Fermat deixarei como exercícios.
Exercícios propostos
Referência bibliográfica: Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,
.
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