Este artigo é mais um capítulo do desenvolvimento do cálculo
(natural), ou cálculo discreto cuja teoria e algumas aplicações podem ser vistas nos posts 002, 003, 016, 020, 030 e 037.
Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo
é toda teoria e aplicação que envolve a derivada
ou a integral
. Neste post, nos interessa a primeira operação aplicada em polinômios.
Derivada natural de um polinômio
é um segundo polinômio
obtido a partir do primeiro pela operação
Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo
Derivada natural de um polinômio
Por sua vez, a derivada de segunda ordem de
é
De forma que a
-ésima derivada de
é
Conforme vimos no post 002, a operação derivada
em
, de grau
, faz reduzir o grau deste polinômio, de forma que
tem grau
. Logo,
tem grau
, ou seja, é um polinômio com valor constante. Precisamente, se
, temos
, igual da derivada
-ésima de
.
As derivadas
de todas as ordens de
também são chamadas de derivadas sucessivas.
Findo o resumo, iniciaremos as novidades deste artigo que é uma aplicação do cálculo
na obtenção de uma fórmula recursiva para um polinômio.
Por intermédio das derivadas
sucessivas de
podemos obter uma fórmula recursiva para
onde o valor deste polinômio é fornecido em função dos
valores anteriores
,
,...,
.
Observem que
Por sua vez,
Por sua vez,
Consequentemente,
Agora, fazendo
e substituindo
, temos
Logo,
que é a nossa procurada fórmula recorrente para
, sendo
o grau deste polinômio e
o coeficiente do monômio de maior grau do mesmo.
Exemplos e aplicações
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