1) Sejam
,
inteiros positivos e
,
números positivos. Considerem
variável e
constante. O valor máximo de
é atingido quando
Demonstração. Substituindo
na expressão para
, temos
; ou
; ou
,
,
Usando a regra da derivada do produto e a regra da derivada da função composta, temos
Então a função
tem três pontos críticos, pois verifica-se
para
Da relação
, temos que
ou
ou
, respectivamente.
Assim, temos os únicos pontos críticos
sendo que o produto máximo
ocorre com as coordenadas do terceiro, tendo em vista que as outras substituições resultam em
nulo.
2) Em complemento ao post 069-Equações Incomuns da Reta, mostrarei como se chega à equação segmentária da reta, ou seja
, onde
é a abcissa do ponto de intersecção da reta com o eixo
e
é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo
, conforme o gráfico a seguir.
Da equação geral da reta
, com todos os coeficientes não-nulos, fazendo
, temos que
. Logo o ponto
é a intercecção da reta com o eixo
. Portanto
;
Por sua vez, fazendo
Observem agora que
Dividindo, ambos os membros por
:
Nenhum número de Fermat
, de índice
, é a soma de dois primos.
Demonstração. Suponhamos que
Os números de Fermat são todos ímpares, logo, é soma de um número par com um número ímpar.
Assim, se
onde, tendo em vista que
, necessariamente temos
4) Se
Demonstração. Os divisores de
tanto podem ser expressos como
quanto
. Então, o produto destes divisores é
Observação
. Se
for primo, logicamente,
e
.
Observação
. Tendo em vista que
é sempre inteiro, toda vez que tivermos um número ímpar de divisores, ou seja,
, então
, um quadrado perfeito. Portanto,
Gostará de ler também:
Referência bibiliográfica:
- Cálculo com Geometria Analítica, Volume
, Simmons, Editora McGraw-Hill,
;
- Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,
.
Nenhum comentário:
Postar um comentário