ELEMENTOS: 076-Sequências Recorrentes de Ordem k

segunda-feira, 1 de outubro de 2012

076-Sequências Recorrentes de Ordem k

O triângulo de Pascal tem grande importância em certas classes de sequências recorrentes.

Observação: todas as fórmulas deste blog são vizualizadas corretamente no Mozilla Firefox.

Definição

Conforme Edgard de Alencar Filho, no seu livro Funções Aritméticas / Números Notáveis, uma sequência de números reais $[;a_1;]$ , $[;a_2;]$ ,..., $[;a_n;]$ ,... chama-se sequência recorrente de ordem $[;k\geq1;]$ , se e somente se, existem $[;k;]$ números reais $[;c_1;]$ , $[;c_2;]$ ,..., $[;c_k\neq 0;]$ tais que, para todo inteiro $[;n>k;]$ , temos a igualdade

$[;a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k};]$

ou seja, o termo genérico $[;a_n;]$ é uma combinação linear dos $[;k;]$ termos anteriores $[;a_{n-1};]$ , $[;a_{n-2};]$ ,..., $[;a_{n-k};]$ , sendo que os $[;k;]$ primeiros termos são previamente definidos, de forma que possamos calcular $[;a_n;]$ para $[;n>k;]$ .

Exemplos

$[;1);]$ Uma progressão geométrica ordinária é uma sequência recorrente de ordem $[;k=1;]$ porque

$[;a_n=a_1q^{n-1}=q.a_1q^{n-2} \Rightarrow;]$

$[;a_n=qa_{n-1};]$ ,

com $[;c_1=q \neq 0;]$

$[;2);]$ Dados $[;a_1=1;]$ e $[;a_2=1;]$ , temos a sequência recorrente de ordem $[;k=2;]$ conhecida como sequência de Fibonacci

$[;a_n=a_{n-1}+a_{n-2};]$

com $[;c_1=1;]$ e $[;c_2=1;]$

$[;F(1,1,2,3,5,8,13,21,...);]$

Mas, se em $[;a_n=a_{n-1}+a_{n-2};]$ , tivermos $[;a_1=1;]$ e $[;a_2=3;]$ se forma agora uma outra sequência de ordem $[;k=2;]$ chamada de sequência de Lucas $[;L(1,3,4,7,11,18,29,47,...);]$ .

$[;3);]$ Uma progressão aritmética ordinária, com $[;r \neq 0;]$ , é uma sequência recorrente de ordem $[;k=2;]$ porque

$[;a_n=a_{n-1}+r;]$

$[;a_{n-1}=a_{n-2}+r;]$

e tirando a diferença membro a membro, obtemos

$[;a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2} \Rightarrow;]$

$[;a_n=2a_{n-1}-a_{n-2};]$

com $[;c_1=2;]$ e $[;c_2=-1;]$

$[;4);]$ A sequência dos quadrados perfeitos $[;(1,4,9,...,n^2,...);]$ é uma sequência recorrente de ordem $[;k=3;]$ , tendo em vista que

$[;3a_{n-1}=3(n-1)^2=3n^2-6n+3;]$

$[;3a_{n-2}=3(n-2)^2=3n^2-12n+12;]$

e fazendo a diferença por membro, chegamos a

$[;3a_{n-1}-3a_{n-2}=6n-9=n^2-(n-3)^2=a_n-a_{n-3} \Rightarrow;]$

$[;a_n=3a_{n-1}-3_{n-2}+a_{n-3};]$

com $[;c_1=3;]$ , $[;c_2=-3;]$ e $[;c_3=1;]$

TEOREMA

Toda sequência cujo termo geral é um polinômio $[;a_n=P(n);]$ de grau $[;g\geq1;]$ é uma sequência recorrente de ordem $[;k=g+1;]$ .

Demonstração

Vamos aproveitar um resultado anterior. Conforme vimos no post 074 (link), a derivada natural ou discreta de $[;i;]$ -ésima ordem de $[;P(n);]$ é

$[;P_i(n)={ i \choose 0}P(n+i)-{ i \choose 1}P(n+i-1) +{ i \choose 2}P(n+i-2)-...(-1)^i{ i \choose i}P(n);]$

Mas, da mesma forma que a derivada infinitesimal, a derivada de ordem $[;g+1;]$ de um polinômio de grau $[;g;]$ é $[;P_{g+1}(n)=0;]$ . Logo,

$[;P_{g+1}(n)={ g+1 \choose 0}P(n+g+1)-{g+1 \choose 1}P(n+g) +{ g+1 \choose 2}P(n+g-1)-...;]$

$[;...+(-1)^{g+1}{ g+1 \choose g+1}P(n)=0;]$

Agora, fazendo $[;n+g+1=m;]$ , temos

$[;{ g+1 \choose 0}P(m)-{g+1 \choose 1}P(m-1) +{ g+1 \choose 2}P(m-2)-...+(-1)^{g+1}{ g+1 \choose g+1}P[m-(g+1)]=0;]$

De forma que

$[;P(m)={g+1 \choose 1}P(m-1) - { g+1 \choose 2}P(m-2)+...+(-1)^{g}{ g+1 \choose g+1}P[m-(g+1)];]$

e como temos $[;g+1;]$ valores anteriores no segundo membro, segue que um polinômio de grau $[;g;]$ é uma sequência recorrente de ordem $[;k=g+1;]$ .

Referência bibliográfica: Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, $[;1988;]$ .

Gostará de ler também:

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

003-Integral Natural e Somatórios

074-Fórmula Recursiva para Polinômio

Imagem:http://redematematica.wordpress.com/2009/11/18/tarefas-7%C2%BA-ano-%E2%80%98sequencias-e-regularidades%E2%80%99-20092010-npmat/

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