quinta-feira, 25 de outubro de 2012

079-Cálculo do Comprimento da Circunferência com Integral

Para os leitores que se aventuram pela primeira vez no cálculo de comprimentos de curvas usando integral, sugiro, antes da leitura do artigo a seguir, se ambientar no excelente artigo do blog parceiro BARICENTRO DA MENTE, de Kleber Kilham.



Gostará de ler também: 


086-Cálculo da Área do Círculo com Integral 
091-Cálculo da Área da Elipse com Integral 






ERRATA: onde estiver escrito "cumprimento" leia-se "comprimento".

OBSERVAÇÃO: utilizei a letra maiúscula "C" para representar o comprimento da circunferência e também para a constante de integração, mas o leitor inteligente perceberá  a diferença. No entanto, evitarei  ambigüidades nas próximas vezes.




14 comentários:

  1. Olá Aloísio, gostei do desenvolvimento. A ideia de utilizar a fórmula de comprimento de arco foi muito bem elaborada. Mais uma referência na internet!

    O Cálculo tem tantas aplicações interessantes e esta é apenas uma das aplicações na geometria.

    Neste artigo, tem a área do pentágono por integral:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/uma-demonstracao-para-area-do-pentagono.html

    E tem este outro sobre comprimento de arcos:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/10/como-calcular-o-comprimento-de-um.html

    Que acha de fazer um sobre a área do círculo por integral? Acho que ficará bacana e um artigo complementará o outro.

    Um grande abraço!

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  2. Oi, Kleber!

    Coloquei este artigo justamente porque não consegui encontrar na net o cálculo do comprimento da circ c/ integral. Só encontrei área e volume. Portanto, obrigado pela sugestão, mas não pretendo postar sobre estas últimas.

    Vou dar uma olhada nos seus artigos. Percebi que gosta bastante de integral.

    Mas fiquei curioso sobre o volume da elipse por integral. Não sei se é possível.

    Outro grande abraço!

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  3. Olá, Aloisio. As utilizações do cálculo são realmente infindáveis. Quando cursei Análise Vetorial, tive o contato com o cálculo do comprimento de curva, mas utilizando formas parametrizadas de uma curva para obtê-los.

    No caso da circunferência, parametrizando-a : γ(θ):(rcosθ,rsenθ) com θ є [0,2π].
    O cálculo neste caso se deve à L=∫ || γ'(θ) ||dθ nos intervalos de integração [0,2π].

    Enfim, o post foi muito interessante.
    Abraços,e até.

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  4. Oi, Diogo!

    Eu conheci também a forma polar, mas esta parametrizada é muito interessante.

    As vezes eu fico pensando, a humanidade tem uns 4000 anos. Se houvessem "n" humanidades h1,h2,...,hn, onde cada uma se desenvolvesse de modo independente ao longo de 4000 anos, como será que descobririam e desenvolveriam o Cálculo???

    Obrigado pela visita e um abraço!

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  5. Olá!, Aloisio
    Muito bom o cálculo feito por você do comprimento da circunferência, com o uso da ferramenta de Cálculo Diferencial Integral.Parabéns!!

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    1. Oi, Paulo!

      Obrigado! Como dizem, vários caminhos levam a Roma (compr da circ) e, por intermédio do cálculo, embora seja mais longo, é mais gratificante para quem o realizar.

      Valeu, um abraço!

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    2. Olá Aluísio Teixeira.
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      Fiz uma "Pesquisa Avançada" sobre a área do Círculo há quatro anos atrás e cheguei à conclusão que existem dois pis.

      1) Pi = 3,14
      2) Pi = 0,785

      Vamos demonstrar como descobrimos a área do círculo usando o segundo Pi = (0,785), ok?

      Qual a área de um círculo de diâmetro igual a 7,52cm?
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      Fórmula:
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
      ..2
      d...*...K ... = Área do círculo. (K = 3,14.../4) , ou (K = 0,785...)

      Solução:
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
      ....2
      7,5 * 0,785 = AC

      56,25cm2 * 0,785 = AC

      44,15625cm2 = Área do Círculo.

      Para encontrarmos o comprimento da Circunferência usando o segundo Pi:
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

      Fórmula:
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

      d4K = Comprimento da Circunferência.

      Solução:
      ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

      7,5 * 4 * 0,785 = CC

      30 * 0,785 = CC

      23,55cm = Comprimento da Circunferência.

      O comprimento dividido por quatro e dividido por 0,785 é igual ao diâmetro da Circunferência, ok?

      A área do Círculo dividido por 0,785 é igual a X. A raiz quadrada de X é igual ao diâmetro da Circunferência, ok?

      Atenciosamente,

      edinho silva.
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      Édison Martins da Silva.
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  6. Oi, Édison!

    Interessante sua versão do novo PI. Na verdade, temos aí o velho PI disfarçado. No, entanto, a humanidade durante seu período de desenvolvimento bem poderia ter adotado o PI como 0,785...e suas versões para o cálculo co cumprimento da circunferência e àrea do círculo.

    Obrigado pelo comentário e pelo prestígio de sua visita.

    Um abraço!

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  7. Olá , Aloísio Teixeira.

    Quero deixar este artigo para os amigos que gostam de pesquisar as descobertas da Matemática Avançada. As pesquisas que fiz sobre a área lateral ou total do Cone elíptico nos sites de Matemática Avançada, pela Internet, não encontrei nenhuma fórmula para demonstração. O nosso conhecimento sobre este cone é carente e precisamos pesquisar mais sobre este assunto.

    Numa Pesquisa Avançada que fiz recentemente criei uma fórmula para a área total e lateral do Cone elíptico. Se já existe a fórmula para encontrar a área do Cone elíptico, não sei, mas vou deixar uma fórmula inédita para os amigos pesquisar, ok?


    Cone reto e Cone elíptico.

    Fórmula Geral da área total do Cone Elíptico:
    ......________..................... ____________
    (2a \/g²-a²+b² + bg2) {pi[3(a+b)-\/(3a+b)(3b+a) ]/4(a+b)}

    Orientação à fórmula:

    a e b são semi-eixos da base elíptica do Cone.

    g é igual a geratriz do Cone.

    Questão resolvida:

    Qual é a área lateral de um Cone elíptico, onde o valor do Semi-eixo a da sua base é 45 cm e o Semi-eixo b é igual a 25 cm. Sabendo que a sua geratriz é igual a 1 metro?

    Resolução:
    ........________________ ...........................__________________
    (2*45 \/100² - 45² + 25² +25*100*2){3,14[3(45+25)-\/(3*45+25)(3*25+45) ]/4(45+25)}

    (90 * 92,73618495 + 5000){3,14[210-138,5640646]/280}

    13346,2566455{224,4226098/280}

    13346,2566455 * 0,8015093209...

    10697,1491 cm² = área lateral do Cone elíptico.

    Atenciosamente,

    edinho silva.

    Édison Martins da Silva.

    Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.

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  8. Olá, Édson!

    Gostaria que respondesse as seguintes perguntas:

    1) Qual seu Estado e Cidade?
    2) Qual a sua idade?
    3) Qual sua formação?
    4) Qual sua profissão?
    5) Já tentou fazer um blog ou site para divulgar suas idéias?

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  9. Olá professor Aloísio Teixeira.

    Respondendo as suas perguntas:

    Sou natural de Pernambuco, mas, moro em São Paulo desde 1987.
    Tenho 52 anos de idade, mas, minha aparência é de 51.
    Tenho o segundo grau em contabilidade, porém, nunca trabalhei nesta área.
    Sou Inspetor de Qualidade no ramo plástico.
    No momento estou montando um blog de Matemática Avançada.

    Atenciosamente,

    edinho silva.

    Édison Martins da Silva

    Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.

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  10. Blz, Édson!

    Fico no aguardo de seu blog. Tenho certeza que será um dos melhores da net.

    Valeu e obrigado.

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  11. Olá professor Aloísio Teixeira.

    Visitei o site yahoo e lá tinha uma questão sobre a área lateral do tronco de Cone elíptico. Alguém perguntava se existia uma fórmula para encontrar a área lateral do tronco de um Cone elíptico. Fiquei pensando naquela pergunta e resolvi pesquisar o assunto!

    Então, fizemos uma Pesquisa Avançada e descobrimos com bastante alegria a fórmula geral para a área lateral de tronco elíptico:

    ........................................___________
    g(X + x)+(Y + y)g¹ {pi[3(a+b)-\/(3a+b)(3b+a) ]/4(a+b)}

    Orientação à fórmula:

    X é igual ao eixo maior da elípse da base maior do tronco elíptico.

    x é igual ao eixo maior da elipse da base menor do tronco elíptico.

    Y é igual ao eixo menor da elipse da base maior do tronco elíptico.

    y é igual ao eixo menor da elipse da base menor do tronco elíptico.

    Questão resolvida:


    Qual a á área lateral do tronco de um Cone elíptico, onde o semi-eixo A da base maior é igual a 12 cm e o semi-eixo B é igual a 8 cm, e o semi-eixo "a" da base menor é igual a 7,2 cm e o semi-eixo "b" é igual a 4,8 cm, sabendo que a altura do tronco elíptico é igual a 6 cm?

    Resposta:

    Área lateral da projeção do tronco é igual a 457,8239765739...cm²

    Área lateral o tronco elíptico é igual a 363 cm²

    Atenciosamente,

    edinho silva.

    Édison Martins da Silva.

    Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.


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  12. Na peida esta m*rda tudo na peida!!!!

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