Se fazemos um sistema com as relações de Girard para resolver as equações quadráticas e cúbicas, isentas de condições especiais, recairemos novamente nas mesmas equações
quadráticas e cúbicas, certo? Este é um pensamento comum, mas depende do
modo de como usamos estas relações.
Primeiramente, vamos ver o modo errado de usar Girard, ou seja, o modo que não reduz o problema.
Dado a equação
, temos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes
e
:
Então temos um sistema em duas variáveis
e
. Da primeira equação tiramos
e substituindo na segunda equação:
E voltamos a estaca zero, pois retornamos à equação quadrática.
FÓRMULA DE BHASKARA, usando Girard
Agora, a maneira correta de utilizarmos estas relações. Montamos o seguinte sistema:
Soma das raízes:
produto das raízes:
Substituindo
nesta segunda equação, temos ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft+(+%5Cfrac%7BS%7D%7B2%7D+%5Cright+)%5E2-v%5E2%3DP%5CRightarrow+v%3D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7BS%5E2-4P%7D%7D%7B2%7D)
Então, ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3Du-v%3D%5Cfrac%7BS%7D%7B2%7D%5Cpm+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7BS%5E2-4P%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BS%5Cpm+%5Csqrt%7BS%5E2-4P%7D%7D%7B2%7D)
E retornando com os valores
e
, encontramos
que é a nossa conhecida fórmula de Baskhara.
Interessante observar que não foi cogitado o complemento do trinômio quadrado perfeito, o que é de praxe nos livros escolares.
Para resolver a equação
, primeiramente, com a substituição
, obtemos a equação transformada simplificada
.
Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.
Da equação
, escolhemos
como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número
. Portanto,
(1)
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?p%5E3j%5E3+p%5E2qj%5E4+p%5E2qj%5E3+pq%5E2j%5E4+p%5E2qj%5E2+pq%5E2j%5E3+pq%5E2j%5E2+q%5E3j%5E3%3D-b)
(2)
(1)
(2)
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?Ay%5E3+By%5E2+Cy+D%3D0)
FÓRMULA DE CARDANO
Da equação
Montamos, então, o seguinte sistema nas variáveis auxiliares
e
:
onde
,
e
são as raízes de
. Agora, pelas relações de Girard, temos
Desenvolvendo a primeira relação usando o sistema, obtemos
Lembrando que
, prosseguimos,
Desenvolvendo a segunda relação usando o sistema, obtemos
Lembrando que
e
, prosseguimos
Chegamos então a conhecida fórmula de Cardano através das relações
De (1), tiramos
e substituindo em (2), temos
que é uma equação quadrática em
. Então achamos
e depois
por (2).
O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de
, por exemplo
, então as três raízes da equação
são fornecidas individualmente por intermédio do sistema
O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de
E finalmente, pela relação
, obtemos todas as raízes da cúbica geral
Imagens: - http://giga-mat.blogspot.com.br/2007/08/bhaskara.html
- http://www.pokertime.eu/blog/Cardamos-book-Book-on-Games-of-Chance/
-http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=48
-http://textosdeumadiva.blogspot.com.br/2010_12_01_archive.html
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Olá, Aloiso. Estou tentando ler, mas meu leitor de latex não esta funcionando direito. O senhor usar qual?
ResponderExcluirAbraços
Oi, Vinicius, as fórmulas que uso são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox.
ResponderExcluirObrigado pela visita.
Olá,
ExcluirUso o Firefox e nem assim não consigo visualizar.
Alguma idéia de como resolver o problema?
Abs
Oi, Teixeira! Estive ausente. Não creio que meu nome seja digno de estar entre esses figurões mas ficou bonitinho, até rimou (Cardano X Tavano). Se tenho algum mérito devo dividi-lo com você. A ideia me surgiu ao ver seu post anterior. Veja: você escreveu x1=a+b e x2=a-b ambos têm a forma a+xb onde x é uma das raízes quadradas de "1". Para a cúbica geral podemos fazer x1=a+b+c; x2=a+bj+cjj e x3=a+bjj+cj, então teremos x1+x2+x3=3a, obtemos o valor de "a"; x1x2+x1x3+x2x3=3a^2-3bc; obtemos o valor de "bc" e finalmente x1x2x3=a^3+b^3+c^3-3abc; obtemos o valor de "a^3+b^3" e caímos de novo em Cardano. Para a quártica talvez se tenha algo como x1=a+b+c+d; x2=a+bi-c-di etc. Obrigado! Você talvez não saiba mas está tirando um peso das minhas costas.
ResponderExcluirErrata: Acima onde se lê: "obtemos o valor de a^3 + b^3". leia-se:"obtemos o valor de b^3 + c^3.
ExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirInteressante é que na equação reduzida ax^3+.bx+c=0, o mais simples sistema x1=p+qi, x2=p-qi e x=- 2p não resolve.
Mas seu método, nem Tartaglia e nem Girard chegaram a pensar nisso porque naquela época, a teoria dos números complexos não estava desenvolvida.
Mas e Euler e Gauss? Chegaram à perceber? Não sei.
Este seu sistema com três variáveis a, b e c também é muito interessante.
Mais uma vez obrigado e parabéns!