ELEMENTOS: 078-Fórmulas de Bhaskara e Cardano Pelas Relações de Girard-Método de Tavano

Nos livros escolares encontram-se alguns exemplos do uso das relações de Girard na resolução de casos particulares das equações de $2^o$ e $3^o$ graus.

Se fazemos um sistema com as relações de Girard para resolver as equações quadráticas e cúbicas, isentas de condições especiais, recairemos novamente nas mesmas equações quadráticas e cúbicas, certo? Este é um pensamento comum, mas depende do modo de como usamos estas relações.

$\rightarrow$ Neste artigo veremos que as relações de Girard são suficientes para resolverem as equações $ax^2+bx+c=0$ e $ax^3+bx^2+cx+d=0$ e acredito que também resolvam a equação quártica, de modo geral.

Primeiramente, vamos ver o modo errado de usar Girard, ou seja, o modo que não reduz o problema.

Dado a equação $ax^2+bx+c=0$ , temos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes $R$ e $r$ :

$R+r=\frac{-b}{a}=S$

$Rr=\frac{c}{a}=P$

Então temos um sistema em duas variáveis $R$ e $r$ . Da primeira equação tiramos $R=S-r$ e substituindo na segunda equação:

$(S-r)r=P+\Rightarrow$

$r^2-Sr+P=0$

E voltamos a estaca zero, pois retornamos à equação quadrática.

FÓRMULA DE BHASKARA, usando Girard

Agora, a maneira correta de utilizarmos estas relações. Montamos o seguinte sistema:

$u+v=R$

$u-v=r$

Soma das raízes: $R+r=S+\Rightarrow+(u+v)+(u-v)=S+\Rightarrow+2u=S+\Rightarrow+u=\frac{S}{2}$

produto das raízes: $Rr=P+\Rightarrow+(u+v)(u-v)=P+\Rightarrow+u^2-v^2=P$

Substituindo $u=\frac{S}{2}$ nesta segunda equação, temos $\left+(+\frac{S}{2}+\right+)^2-v^2=P\Rightarrow+v=+\frac{\sqrt{S^2-4P}}{2}$

Então, $x=u-v=\frac{S}{2}\pm+\frac{\sqrt{S^2-4P}}{2}=\frac{S\pm+\sqrt{S^2-4P}}{2}$

E retornando com os valores $S=\frac{-b}{a}$ e $P=\frac{c}{a}$ , encontramos $x=\frac{-b+\pm+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ que é a nossa conhecida fórmula de Baskhara.

Interessante observar que não foi cogitado o complemento do trinômio quadrado perfeito, o que é de praxe nos livros escolares.

FÓRMULA DE CARDANO

Para resolver a equação $Ay^3+By^2+Cy+D=0$ , primeiramente, com a substituição $y=x-\frac{B}{3A}$ , obtemos a equação transformada simplificada $x^3+ax+b=0$ .

$\rightarrow$ Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.

Da equação $j^3-1=(j-1)(j^2+j+1)=0$ , escolhemos $j$ como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número $1$ . Portanto,

$j^3=1$

$j^2+j+1=0$

Montamos, então, o seguinte sistema nas variáveis auxiliares $p$ e $q$ :

$p+q=x_1$

$pj+qj^2=x_2$

$pj^2+qj=x_3$

onde $x_1$ , $x_2$ e $x_3$ são as raízes de $x^3+ax+b=0$ . Agora, pelas relações de Girard, temos

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a$

$x_1x_2x_3=-b$

Desenvolvendo a primeira relação usando o sistema, obtemos

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a \Rightarrow$

$(p+q)(pj+qj^2)+(p+q)(pj^2+qj)+(pj+qj^2)(pj^2+qj)=a \Rightarrow$

$p^2j+pqj^2+pqj+q^2j^2+$

$+p^2j^2+pqj+pqj^2+q^2j+$

$+p^2j^3+pqj^2+pqj^4+q^2j^3$

$=a$

Lembrando que $j^4=j^3.j=1.j=j$ , prosseguimos,

$p^2j(j^2+j+1)+3pq[(j^2+j+1)-1]+q^2j(j^2+j+1)=a \Rightarrow$

$0+3pq(0-1)+0=a \Rightarrow$

$-3pq=a$ (1)

Desenvolvendo a segunda relação usando o sistema, obtemos

$x_1x_2x_3=-b \Rightarrow$

$(p+q)(pj+qj^2)(pj^2+qj)=-b \Rightarrow$

$(p^2j+pqj^2+pqj+q^2j^2)(pj^2+qj)=-b \Rightarrow$

$p^3j^3+p^2qj^4+p^2qj^3+pq^2j^4+p^2qj^2+pq^2j^3+pq^2j^2+q^3j^3=-b$

Lembrando que $j^3=1$ e $j^4=j^3.j=j$ , prosseguimos

$p^3+$

$+p^2qj+p^2q+$

$+pq^2j+p^2qj^2+$

$+pq^2+pq^2j^2+$

$q^3=-b \Rightarrow$

$p^3+$

$+p^2q(j^2+j+1-1)+pq^2(j^2+j+1-1)+p^2q+pq^2+$

$q^3=-b \Rightarrow$

$p^3-p^2q-pq^2+p^2q+pq^2+q^3=-b \Rightarrow$

$p^3+q^3=-b$ (2)

Chegamos então a conhecida fórmula de Cardano através das relações

$-3pq=a$ (1)

$p^3+q^3=-b$ (2)

De (1), tiramos $q=-\frac{a}{3p}$ e substituindo em (2), temos

$27p^6+27bp^3-a^3=0$

que é uma equação quadrática em $p^3$ . Então achamos $p$ e depois $q$ por (2).

O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de $1$ , por exemplo $j=-1/2+(\sqr{3}/2)i$ , então as três raízes da equação $x^3+ax+b=0$ são fornecidas individualmente por intermédio do sistema

$p+q=x_1$

$pj+qj^2=x_2$

$pj^2+qj=x_3$

E finalmente, pela relação $y=x-\frac{B}{3A}$ , obtemos todas as raízes da cúbica geral

$Ay^3+By^2+Cy+D=0$

Imagens: - http://giga-mat.blogspot.com.br/2007/08/bhaskara.html
- http://www.pokertime.eu/blog/Cardamos-book-Book-on-Games-of-Chance/
-http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=48
-http://textosdeumadiva.blogspot.com.br/2010_12_01_archive.html

6 comentários:

Alladin Magi16 de outubro de 2012 às 20:27
Olá, Aloiso. Estou tentando ler, mas meu leitor de latex não esta funcionando direito. O senhor usar qual?

Abraços
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Aloisio Teixeira16 de outubro de 2012 às 20:35
Oi, Vinicius, as fórmulas que uso são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox.

Obrigado pela visita.
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Tavano18 de outubro de 2012 às 09:45
Oi, Teixeira! Estive ausente. Não creio que meu nome seja digno de estar entre esses figurões mas ficou bonitinho, até rimou (Cardano X Tavano). Se tenho algum mérito devo dividi-lo com você. A ideia me surgiu ao ver seu post anterior. Veja: você escreveu x1=a+b e x2=a-b ambos têm a forma a+xb onde x é uma das raízes quadradas de "1". Para a cúbica geral podemos fazer x1=a+b+c; x2=a+bj+cjj e x3=a+bjj+cj, então teremos x1+x2+x3=3a, obtemos o valor de "a"; x1x2+x1x3+x2x3=3a^2-3bc; obtemos o valor de "bc" e finalmente x1x2x3=a^3+b^3+c^3-3abc; obtemos o valor de "a^3+b^3" e caímos de novo em Cardano. Para a quártica talvez se tenha algo como x1=a+b+c+d; x2=a+bi-c-di etc. Obrigado! Você talvez não saiba mas está tirando um peso das minhas costas.
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Aloisio Teixeira18 de outubro de 2012 às 10:31
Oi, Tavano!

Interessante é que na equação reduzida ax^3+.bx+c=0, o mais simples sistema x1=p+qi, x2=p-qi e x=- 2p não resolve.

Mas seu método, nem Tartaglia e nem Girard chegaram a pensar nisso porque naquela época, a teoria dos números complexos não estava desenvolvida.

Mas e Euler e Gauss? Chegaram à perceber? Não sei.

Este seu sistema com três variáveis a, b e c também é muito interessante.

Mais uma vez obrigado e parabéns!
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terça-feira, 16 de outubro de 2012

078-Fórmulas de Bhaskara e Cardano Pelas Relações de Girard-Método de Tavano

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V.O