Se fazemos um sistema com as relações de Girard para resolver as equações quadráticas e cúbicas, isentas de condições especiais, recairemos novamente nas mesmas equações
quadráticas e cúbicas, certo? Este é um pensamento comum, mas depende do
modo de como usamos estas relações.
Neste artigo veremos que as relações de Girard são suficientes para resolverem as equações e e acredito que também resolvam a equação quártica, de modo geral.
Primeiramente, vamos ver o modo errado de usar Girard, ou seja, o modo que não reduz o problema.
Dado a equação , temos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes e :
Então temos um sistema em duas variáveis e . Da primeira equação tiramos e substituindo na segunda equação:
E voltamos a estaca zero, pois retornamos à equação quadrática.
FÓRMULA DE BHASKARA, usando Girard
Agora, a maneira correta de utilizarmos estas relações. Montamos o seguinte sistema:
Soma das raízes:
produto das raízes:
Substituindo nesta segunda equação, temos
Então,
E retornando com os valores e , encontramos que é a nossa conhecida fórmula de Baskhara.
Interessante observar que não foi cogitado o complemento do trinômio quadrado perfeito, o que é de praxe nos livros escolares.
Para resolver a equação , primeiramente, com a substituição , obtemos a equação transformada simplificada .
Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.
Da equação , escolhemos como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número . Portanto,
(2)
FÓRMULA DE CARDANO
Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.
Da equação , escolhemos como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número . Portanto,
Montamos, então, o seguinte sistema nas variáveis auxiliares e :
onde , e são as raízes de . Agora, pelas relações de Girard, temos
Desenvolvendo a primeira relação usando o sistema, obtemos
Lembrando que , prosseguimos,
(1)
Desenvolvendo a segunda relação usando o sistema, obtemos
Lembrando que e , prosseguimos
(2)
Chegamos então a conhecida fórmula de Cardano através das relações
(1)
(2)
De (1), tiramos e substituindo em (2), temos
que é uma equação quadrática em . Então achamos e depois por (2).
O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de , por exemplo , então as três raízes da equação são fornecidas individualmente por intermédio do sistema
O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de , por exemplo , então as três raízes da equação são fornecidas individualmente por intermédio do sistema
E finalmente, pela relação , obtemos todas as raízes da cúbica geral
Imagens: - http://giga-mat.blogspot.com.br/2007/08/bhaskara.html
- http://www.pokertime.eu/blog/Cardamos-book-Book-on-Games-of-Chance/
-http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=48
-http://textosdeumadiva.blogspot.com.br/2010_12_01_archive.html
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Olá, Aloiso. Estou tentando ler, mas meu leitor de latex não esta funcionando direito. O senhor usar qual?
ResponderExcluirAbraços
Oi, Vinicius, as fórmulas que uso são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox.
ResponderExcluirObrigado pela visita.
Olá,
ExcluirUso o Firefox e nem assim não consigo visualizar.
Alguma idéia de como resolver o problema?
Abs
Oi, Teixeira! Estive ausente. Não creio que meu nome seja digno de estar entre esses figurões mas ficou bonitinho, até rimou (Cardano X Tavano). Se tenho algum mérito devo dividi-lo com você. A ideia me surgiu ao ver seu post anterior. Veja: você escreveu x1=a+b e x2=a-b ambos têm a forma a+xb onde x é uma das raízes quadradas de "1". Para a cúbica geral podemos fazer x1=a+b+c; x2=a+bj+cjj e x3=a+bjj+cj, então teremos x1+x2+x3=3a, obtemos o valor de "a"; x1x2+x1x3+x2x3=3a^2-3bc; obtemos o valor de "bc" e finalmente x1x2x3=a^3+b^3+c^3-3abc; obtemos o valor de "a^3+b^3" e caímos de novo em Cardano. Para a quártica talvez se tenha algo como x1=a+b+c+d; x2=a+bi-c-di etc. Obrigado! Você talvez não saiba mas está tirando um peso das minhas costas.
ResponderExcluirErrata: Acima onde se lê: "obtemos o valor de a^3 + b^3". leia-se:"obtemos o valor de b^3 + c^3.
ExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirInteressante é que na equação reduzida ax^3+.bx+c=0, o mais simples sistema x1=p+qi, x2=p-qi e x=- 2p não resolve.
Mas seu método, nem Tartaglia e nem Girard chegaram a pensar nisso porque naquela época, a teoria dos números complexos não estava desenvolvida.
Mas e Euler e Gauss? Chegaram à perceber? Não sei.
Este seu sistema com três variáveis a, b e c também é muito interessante.
Mais uma vez obrigado e parabéns!