sábado, 1 de dezembro de 2012

091-Cálculo da Área da Elipse com Integral

Considere a elipse mostrada no gráfico cartesiano do diagrama. Observem que a mesma tem centro na origem , raio maior paralelo ao eixo e raio menor paralelo ao eixo . Nestas condições, a equação da elipse é . Na forma explícita, pode ser considerada a lei de definição de uma função cujo gráfico encontra-se no mesmo diagrama, acima do eixo .



Com o objetivo de calcular a área da elipse usando Cálculo, integraremos a função considerada no intervalo , multiplicando o resultado por , ou seja


Fazendo,  

 
 
 

com as seguintes alterações nos limites inferior e superior da integral:   

 
 

temos, 

 
 

Mas, e, substituindo, vem 

 

Assim,  o valor desta integral definida é 



 

 

Para calcular a área da elipse com uma  integral utilizando a  variável e os limites e , basta reverter a transformação trigonométrica em, nos mesmos moldes do artigo 086

Se , temos um círculo e, portanto, .



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5 comentários:

  1. por que multiplica por 4?

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    1. Já que todas as "fatias" da elipse são iguais, com esses limites de integração ele só está calculando a área da "fatia" da elipse que se encontra no primeiro quadrante. Multiplicando o resultado por 4, tem-se então a área de toda a elipse.

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  2. Porque x=a sen(Teta) , E não x= a cos(Teta)?

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