terça-feira, 4 de dezembro de 2012

093-Fórmula Delta x para Polinômios


 
 O que tem em comum entre a expressão do enésimo termo de uma , ou seja,

 

e  a fórmula de Taylor para polinômios

  ?

Resposta: é que as duas fórmulas são apenas casos particulares de ( fórmula para polinômios ):

 
 

Onde

 

 é o quociente de Newton . Aqui chamarei de derivada . Logo, são as derivadas sucessivas de .  Aqui o nome "sucessivo" tem o mesmo significado empregado com a derivada infinitesimal, com a exceção que, em lugar do incremento ter apenas a possibilidade de  tender para zero (), temos que pode ser  qualquer valor real diferente de zero.

Assim, o enésimo termo de uma teríamos para e e a fórmula de Taylor para polinômios sairia para e .

Além disso, se e , teríamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética de ordem , conforme o artigo 002 .

O presente artigo tem como finalidade demonstrar a fórmula . Para isto, nos apoiaremos nos seguintes lemas.


Lema 1. A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções, ou seja


Lema . A derivada de uma constante é

Lema . A derivada do binômio é

As demonstrações dos lemas  serão aqui omitidas por serem simples aplicações da operação , nos mesmos moldes das demonstrações da derivada infinitesival de uma soma de funções, de uma constante e da função , com a ressalva de que não é necessário tender para zero.


Lema . Se , então
 
 


Demonstração. Seja . Aplicando pontualmente a regra de derivação   em , temos que


 

 

 

Mas também , portanto

 

  

 


Logo, 

 

 


TEOREMA. ( Fórmula )  Dado o número real , qualquer polinômio pode ser representado pela expressão


 

  (1)


Demonstração. Como este é um teorema de existência, é necessário apenas provar a existência dos coeficientes   nessa disposição algébrica para provar a existência da mesma.

Usando o lema , temos

 

  


 


Usando os lemas e , segue

 



Desta forma, contando com as derivadas sucessivas  de , temos

 

......................................................................................................



De forma que

 
  
 
.........................

   


Finalmente, substituindo estes valores de coeficientes em (1), temos

 
Conclusão: os coeficientes de (1) existem e são as derivadas sucessivas de para . Logo, para um mesmo polinômio , temos infinitas representações como fórmula para infinitos valores de .  


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2 comentários:

  1. Olá, Aloísio!!!!

    Parabéns, pelas ótimas postagens que você faz e... através das suas demonstrações valiosas, além das suas preciosas observações, nos remete a um estado reflexivo sobre esses nossos conhecimentos adqueridos e considerados complexos e não guardando tão estreita ligação com outros conteúdos, coisa que você prova de maneira espetacular!!!!

    Muito bom e... muito bem, grande parceiro!!!! Muita sorte da nossa parte em tê-lo aqui conosco na luta pela compreensão e domínio da ciência dos números!!!!

    Um abraço!!!!!

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  2. Oi, Valdir!

    Obrigado. Esta fórmula Delta x descobri na adolescência em uma época que o único meio de publicação eficaz era o livro.

    Por muito tempo tentei sem sucesso uma fórmula semelhante onde o incremento Delta x, no lucar de ser uma constante, varie como uma progressão aritmética ordinária. A luta seria para uma lei que forneceria os coeficientes em

    P(x)=A0+A1(x-Dx)+A2(x-Dx)(x-4Dx)+A3(x-Dx)(x-4Dx)(x-9Dx), etc

    Valeu, parceiro.

    Abraços!

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