O que tem em comum entre a expressão do enésimo termo de uma , ou seja,
e a fórmula de Taylor para polinômios
?
Resposta: é que as duas fórmulas são apenas casos particulares de ( fórmula para polinômios ):
Onde
é o quociente de Newton . Aqui chamarei de derivada . Logo, são as derivadas sucessivas de . Aqui o nome "sucessivo" tem o mesmo significado empregado com a derivada infinitesimal, com a exceção que, em lugar do incremento ter apenas a possibilidade de tender para zero (), temos que pode ser qualquer valor real diferente de zero.
Assim, o enésimo termo de uma teríamos para e e a fórmula de Taylor para polinômios sairia para e .
Além disso, se e , teríamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética de ordem , conforme o artigo 002 .
Além disso, se e , teríamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética de ordem , conforme o artigo 002 .
O presente artigo tem como finalidade demonstrar a fórmula . Para isto, nos apoiaremos nos seguintes lemas.
Lema 1. A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções, ou seja
Lema 1. A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções, ou seja
Lema . A derivada de uma constante é .
Lema . A derivada do binômio é .
As demonstrações dos lemas serão aqui omitidas por serem simples aplicações da operação , nos mesmos moldes das demonstrações da derivada infinitesival de uma soma de funções, de uma constante e da função , com a ressalva de que não é necessário tender para zero.
Lema . Se , então
Lema . Se , então
Demonstração. Seja . Aplicando pontualmente a regra de derivação , em , temos que
Mas também , portanto
Logo,
TEOREMA. ( Fórmula ) Dado o número real , qualquer polinômio pode ser representado pela expressão
(1)
Demonstração. Como este é um teorema de existência, é necessário apenas provar a existência dos coeficientes nessa disposição algébrica para provar a existência da mesma.
Usando o lema , temos
Usando os lemas e , segue
Desta forma, contando com as derivadas sucessivas de , temos
......................................................................................................
......................................................................................................
De forma que
.........................
Finalmente, substituindo estes valores de coeficientes em (1), temos
Conclusão: os coeficientes de (1) existem e são as derivadas sucessivas de para . Logo, para um mesmo polinômio , temos infinitas representações como fórmula para infinitos valores de .
Gostará de ler também:
Olá, Aloísio!!!!
ResponderExcluirParabéns, pelas ótimas postagens que você faz e... através das suas demonstrações valiosas, além das suas preciosas observações, nos remete a um estado reflexivo sobre esses nossos conhecimentos adqueridos e considerados complexos e não guardando tão estreita ligação com outros conteúdos, coisa que você prova de maneira espetacular!!!!
Muito bom e... muito bem, grande parceiro!!!! Muita sorte da nossa parte em tê-lo aqui conosco na luta pela compreensão e domínio da ciência dos números!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, Valdir!
ResponderExcluirObrigado. Esta fórmula Delta x descobri na adolescência em uma época que o único meio de publicação eficaz era o livro.
Por muito tempo tentei sem sucesso uma fórmula semelhante onde o incremento Delta x, no lucar de ser uma constante, varie como uma progressão aritmética ordinária. A luta seria para uma lei que forneceria os coeficientes em
P(x)=A0+A1(x-Dx)+A2(x-Dx)(x-4Dx)+A3(x-Dx)(x-4Dx)(x-9Dx), etc
Valeu, parceiro.
Abraços!