ELEMENTOS: 093-Fórmula Delta x para Polinômios

O que tem em comum entre a expressão do enésimo termo de uma $PA$ , ou seja,

$a_n=a_1+(n-1)r$

e a fórmula de Taylor para polinômios

$P(x)=P(0)+P^{'}(0)x+\frac{P^{''}(0)}{2!}x^2+...+\frac{P^{(m)}(0)}{m!}x^m$ ?

Resposta: é que as duas fórmulas são apenas casos particulares de ( fórmula $\Delta x$ para polinômios ):

$P(x)=P(\Delta x)+P^{(1)}_{\Delta x}(\Delta x)(x-\Delta x)+\frac{P^{(2)}_{\Delta x}(\Delta x)}{2!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)+...$

$...+\frac{P_{\Delta x}^{(m)}(x)}{m!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-m\Delta x)$

Onde

$P_{\Delta x}^{(1)}(x)=\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}$

é o quociente de Newton . Aqui chamarei de derivada $\Delta x$ . Logo, $P_{\Delta x}^{(1)}(x),P_{\Delta x}^{(2)}(x),...,P_{\Delta x}^{(i)}(x)$ são as derivadas $\Delta x$ sucessivas de $P(x)$ . Aqui o nome "sucessivo" tem o mesmo significado empregado com a derivada infinitesimal, com a exceção que, em lugar do incremento ter apenas a possibilidade de tender para zero ( $\Delta x \rightarrow 0$ ), temos que $\Delta x$ pode ser qualquer valor real diferente de zero.

Assim, o enésimo termo de uma $PA$ teríamos para $m=1$ e $\Delta x=1$ e a fórmula de Taylor para polinômios sairia para $m\geq 1$ e $\Delta x \rightarrow 0$ .

Além disso, se $m\geq 1$ e $\Delta x=1$ , teríamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética de ordem $m$ , conforme o artigo 002 .

O presente artigo tem como finalidade demonstrar a fórmula $\Delta x$ . Para isto, nos apoiaremos nos seguintes lemas.

Lema 1. A derivada $\Delta x$ de uma soma de funções é a soma das derivadas $\Delta x$ das funções, ou seja

$[f(x)+g(x)+...+\alpha(x)]_{\Delta x}^{(1)}=f_{\Delta x}^{(1)}(x)+g_{\Delta x}^{(1)}(x)+...+\alpha_{\Delta x}^{(1)}(x)$

Lema $2$ . A derivada $\Delta x$ de uma constante $k$ é $0$ .

Lema $3$ . A derivada $\Delta x$ do binômio $A(x-a)$ é $A$ .

$\rightarrow$ As demonstrações dos lemas $1,2 \ e \ 3$ serão aqui omitidas por serem simples aplicações da operação $u(x)_{\Delta x}^{(1)}=\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$ , nos mesmos moldes das demonstrações da derivada infinitesival de uma soma de funções, de uma constante e da função $l(x)=ax+b$ , com a ressalva de que não é necessário $\Delta x$ tender para zero.

Lema $4$ . Se $g(x)=\frac{A}{p!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-p\Delta x)$ , então

$g_{\Delta x}^{(1)}(x)=\frac{A}{(p-1)!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...[x-(p-1)\Delta x]$

Demonstração. Seja $w(x)=(x-\Delta x)(x-2 \Delta x)...[x-(p-1)\Delta x]$ . Aplicando pontualmente a regra de derivação $\Delta x$ , $g_{\Delta x}^{(1)}(x)=\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$ em $g(x)$ , temos que

$g(x+\Delta x)=\frac{A}{p!}(x+\Delta x-\Delta x)(x+\Delta x-2\Delta x)...(x+\Delta x-p\Delta x)\Rightarrow$

$g(x+\Delta x)=\frac{A}{p!}x(x-\Delta x)...[x-(p-1)\Delta x)]\Rightarrow$

$g(x+\Delta x)=\frac{A}{p!}xw(x)$

Mas também $g(x)=\frac{A}{p!}w(x)(x-p\Delta x)$ , portanto

$g(x+\Delta x)-g(x)=$

$=\frac{A}{p!}xw(x)-\frac{A}{p!}w(x)(x-p\Delta x)=$

$=\frac{A}{p!}w(x)[x-(x-p\Delta x)]=$

$=\frac{A \Delta x}{(p-1)!}w(x)$

Logo,

$g_{\Delta x}^{(1)}(x)=\frac{g(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{A\Delta x \ w(x)}{(p-1)!}}{\Delta x}=\frac{Aw(x)}{(p-1)!}\Rightarrow$

$g_{\Delta x}^{(1)}(x)=\frac{A}{(p-1)!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...[x-(p-1)\Delta x]$

TEOREMA. ( Fórmula $\Delta x$ ) Dado o número real $\Delta x \neq 0$ , qualquer polinômio $P(x)=a_0x^m+a_1x^{n-1}+...+a_m$ pode ser representado pela expressão

$P(x)=A_0+A_1(x-\Delta x)+\frac{A_2}{2!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)+...$

$...+\frac{A_m}{m!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-m\Delta x)$ (1)

Demonstração. Como este é um teorema de existência, é necessário apenas provar a existência dos coeficientes $A_0,A_1,...,A_m$ nessa disposição algébrica para provar a existência da mesma.

Usando o lema $1$ , temos

$P_{\Delta x}^{(1)}(x)=[A_0+A_1(x-\Delta x)+\frac{A_2}{2!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)+...$

$...A_m/m!(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-m\Delta x)]_{\Delta x}^{(1)}$ $\Rightarrow$

$P(x)_{\Delta x}^{(1)}=[A_0]_{\Delta_x}^{(1)}+[A_1(x-\Delta x)]_{\Delta_x}^{(1)}+\left[\frac{A_2}{2!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)\right]_{\Delta_x}^{(1)}+...$

$+...\left[\frac{A_m}{m!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-m\Delta x)\right]_{\Delta_x}^{(1)}$

Usando os lemas $2,3$ e $4$ , segue

$P_{\Delta x}^{(1)}(x)=0+A_1+\frac{A_2}{1!}(x-\Delta x)+...$

$...+\frac{A_m}{(m-1)!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...[x-(m-1)\Delta x]$

Desta forma, contando com as derivadas $\Delta x$ sucessivas de $P(x)$ , temos

$P(x)=A_0+A_1(x-\Delta x)+...+\frac{A_m}{m!}(x-\Delta x)...(x-m\Delta x)$
$P_{\Delta x}^{(1)}(x)=A_1+A_2(x-\Delta x)+...+\frac{A_m}{(m-1)!}(x-\Delta x)...[x-(m-1)\Delta x]$
$P_{\Delta x}^{(2)}(x)=A_2+A_3(x-\Delta x)+...+\frac{A_m}{(m-2)!}(x-\Delta x)...[x-(m-2)\Delta x)]$ ......................................................................................................

$P_{\Delta x}^{(m-1)}(x)=A_{m-1}+A_m(x-\Delta x)$
$P_{\Delta x}^{(m)}(x)=A_m$

De forma que

$P(\Delta x)=A_0$

$P_{\Delta x}^{(1)}(\Delta x)=A_1$

$P_{\Delta x}^{(2)}(\Delta x)=A_2$

.........................

$P_{\Delta x}^{(m-1)}(\Delta x)=A_{m-1}$

$P_{\Delta x}^{(m)}(\Delta x)=A_{m}$

Finalmente, substituindo estes valores de coeficientes em (1), temos

$P(x)=P(\Delta x)+P^{(1)}_{\Delta x}(\Delta x)(x-\Delta x)+\frac{P^{(2)}_{\Delta x}(\Delta x)}{2!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)+...$

$...+\frac{P_{\Delta x}^{(m)}(x)}{m!}(x-\Delta x)(x-2\Delta x)...(x-m\Delta x)$

Conclusão: os coeficientes de (1) existem e são as derivadas $\Delta x$ sucessivas de $P(x)$ para $x=\Delta x$ . Logo, para um mesmo polinômio $P(x)=a_0x^m+a_1x^{n-1}+...+a_m$ , temos infinitas representações como fórmula $\Delta x$ para infinitos valores de $\Delta x \neq 0$ .

Gostará de ler também:

002-Progressão Aritmética de Ordem Superior

016-O Quociente de Newton nas Séries Polinomiais

2 comentários:

Francisco Valdir5 de dezembro de 2012 às 01:26
Olá, Aloísio!!!!

Parabéns, pelas ótimas postagens que você faz e... através das suas demonstrações valiosas, além das suas preciosas observações, nos remete a um estado reflexivo sobre esses nossos conhecimentos adqueridos e considerados complexos e não guardando tão estreita ligação com outros conteúdos, coisa que você prova de maneira espetacular!!!!

Muito bom e... muito bem, grande parceiro!!!! Muita sorte da nossa parte em tê-lo aqui conosco na luta pela compreensão e domínio da ciência dos números!!!!

Um abraço!!!!!
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Aloisio Teixeira5 de dezembro de 2012 às 13:46
Oi, Valdir!

Obrigado. Esta fórmula Delta x descobri na adolescência em uma época que o único meio de publicação eficaz era o livro.

Por muito tempo tentei sem sucesso uma fórmula semelhante onde o incremento Delta x, no lucar de ser uma constante, varie como uma progressão aritmética ordinária. A luta seria para uma lei que forneceria os coeficientes em

P(x)=A0+A1(x-Dx)+A2(x-Dx)(x-4Dx)+A3(x-Dx)(x-4Dx)(x-9Dx), etc

Valeu, parceiro.

Abraços!
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terça-feira, 4 de dezembro de 2012

093-Fórmula Delta x para Polinômios

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V.O