ELEMENTOS: 101-Estudo da Função Definida por f(x)=x^a/b^x

Considerações iniciais

Seja $a \in \left \{ 1,2,... \right \}$ e $b \in \mathbb{R}$ , com $b>1$ . Considere a função definida por

$y=f(x)=\frac{x^a}{b^x}$

Para $x=0$ , temos $f(0)=\frac{0^a}{b^0}=\frac{0}{1}=0$ . Logo, o ponto $(0,0)$ pertence ao gráfico, ou seja, a curva passa pela origem.

Valores para $x>0$

Neste caso, ambas as funções $g(x)=x^a$ e $h(x)=b^x$ são positivas e crescentes, o que indica que o gráfico de $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^a}{b^x}$ encontra-se acima do eixo $Ox$ para $x>0$ . Mas, $h(x)=b^x$ cresce muito mais rápido, de forma que quando $x \rightarrow \infty$ , teremos

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^a}{b_x}=0$

Assim, um esboço do gráfico no intervalo $[0,\infty)$ da função estudada seria

$y=f(x)=\frac{x^a}{b^x}$

Onde $y_v$ é o valor máximo de $y=f(x)$ , neste intervalo. Notem que a curva intercepta o eixo $Ox$ à esquerda no ponto $(0,0)$ . Mas, à direita, a curva nunca intercepta o eixo horizontal, por menor que seja $y$ positivamente.

Valores para $x<0$

Seja $u \in \mathbb{R}$ , com $u>0$ e $x=-u$ .Tendo em vista que $b^x$ nunca é negativo, temos dois casos a considerar:

1) $a$ ímpar.

$f(x)=f(-u)=\frac{(-u)^a}{b^{-u}}=-u^ab^u$

Logo, $u \rightarrow \infty \Rightarrow \ x \rightarrow -\infty \Rightarrow f(-\infty)=-\infty$

2) $a$ par.

$f(x)=f(-u)=\frac{(-u)^a}{b^{-u}}=u^ab^u$

Logo, $u \rightarrow \infty \Rightarrow x \rightarrow -\infty \Rightarrow f(-\infty)=+\infty$

Portanto, o gráfico geral de $y=\frac{x^a}{b^x}$ tem um dos seguintes aspectos.

Domínio e imagem

Se $y_v$ é a ordenada do máximo local no primeiro quadrante, observem que o domínio desta função é $\mathbb{R}$ nos dois casos, mas a imagem é $(-\infty,y_v]$ se $a$ for ímpar e $[0,\infty)$ se $a$ for par.

Coordenadas do ponto máximo local $(x>0)$

Seja $x_v$ a abcissa do ponto máximo ou $f(x_v)=y_v$ . Logo, $f^{'}(x_v)=0$ é a derivada de $f(x)$ no ponto $x_v$ . Calculando a derivada geral da função, temos,

$f(x)=\frac{x^a}{b^x}$

Pela regra do quociente,

$f^{'}(x)=\frac{(b^x)(x^a)^{'}-(x^a)(b^x)^{'}}{(b^x)^2}$

$f^{'}(x)=\frac{ax^{a-1}b^x-x^ab^xln \ b}{b^{2x}}$

$f^{'}(x)=\frac{x^{a-1}}{b^{x}} [a-(lnb)x]$

Assim, $f^{'}(x)=0$ para $x=0$ ou $a-(ln \ b)x=0 \Rightarrow \ x=\frac{a}{ln \ b}$ . Mas $x=0$ corresponde ao ponto de inflexão na origem no que concluímos que as coordenadas do ponto máximo local é

$x_v=\frac{a}{ln \ b}$

$y_v=\frac{(a/ln \ b)^a}{b^{a/ln \ b}}$ .

Logo, se $b=e$ ( número de Euler), temos que o ponto máximo da função $f(x)=\frac{x^a}{e^x}$ tem coordenadas $\left(a,\frac{a^a}{b^a} \right )$ .

Área no intervalo
$[0,\infty)$

Para calcular a àrea no intervalo $[0,\infty)$ é necessário calcular a integral

$\int x^ae^{kx} \ dx$ (1)

porque, de posse deste resultado, basta fazer $k=-ln \ b$ e calcular o valor da integral nos limites do intervalo considerado.

Usaremos a fórmula de integração por partes $\int u \ dv=uv-\int v \ du$ com a idéia de reduzir a integral (1) à uma outra que contenha uma potência de menor grau e assim por diante, até o grau da potência ser zero e, a partir daí, operá-la como uma constante.

Sejam

$u=x^a$ , $dv =e^{kx} \ dx$ , $v=\frac{e^{kx}}{k}$ e $du=ax^{a-1} \ dx$

Inserindo estes resultados na fórmula,

$\int u \ dv=uv-\int v \ du$

$\int x^ae^{kx} \ dx=x^a\frac{e^{kx}}{k} -\int \frac{e^{kx}}{k}.ax^{a-1}$ $dx$

$\int x^ae^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^ae^{kx} -\frac{a}{k}\int x^{a-1}e^{kx}$ $dx$ (2)

Por sua vez,

$\int x^{a-1}e^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^{a-1}e^{kx}-\frac{a-1}{k}\int x^{a-2}e^{kx}$ $dx$ (3)

Substituindo (3) em (2),

$\int x^{a}e^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^ae^{kx}-\frac{a}{k}\left(\frac{1}{k}x^{a-1}e^{kx}-\frac{a-1}{k}\int x^{a-2}e^{kx} \ dx \right)$
$\int x^{a}e^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^ae^{kx}-\frac{a}{k^2}x^{a-1}e^{kx}+\frac{a(a-1)}{k^2}\int x^{a-2}e^{kx} \ dx$ (4)

Por sua vez,

$\int x^{a-2}e^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^{a-2}e^{kx}-\frac{a-2}{k^2}x^{a-3}e^{kx}+\frac{(a-2)(a-3)}{k^2}\int x^{a-4}e^{kx} \ dx$ (5)

Substituindo (5) em (4),

$\int x^{a}e^{kx} \ dx=\frac{1}{k}x^ae^{kx}-\frac{a}{k^2}x^{a-1}e^{kx}+\frac{a(a-1)}{k^3}x^{a-2}e^{kx}-\frac{a(a-1)(a-2)}{k^4}x^{a-3}e^{kx}+\frac{a(a-1)(a-2)(a-3)}{k^4}\int x^{a-4}e^{kx} \ dx$

Podemos induzir que,

$\int x^{a}e^{kx} \ dx=\frac{e^{kx}}{k}\left[\frac{0!}{k^0}{a \choose 0}x^a-\frac{1!}{k^1}{a \choose 1}x^{a-1}+...+(-1)^{a-1}\frac{(a-1)!}{k^{a-1}}{a \choose a-1}x^1 \right]+$

$+(-1)^a\frac{a!}{k^{a-1}}{a \choose a}\int x^0e^{kx} \ dx$

Mas, nesta última integral, temos $\int x^0e^{kx} \ dx=\int e^{kx} \ dx=\frac{e^{kx}}{k}+C$ , de forma que

$\int x^{a}e^{kx} \ dx=\frac{e^{kx}}{k}\left[\frac{0!}{k^0}{a \choose 0}x^a-\frac{1!}{k^1}{a \choose 1}x^{a-1}+...+(-1)^{a-1}\frac{(a-1)!}{k^{a-1}}{a \choose a-1}x^1$

$\left + \ (-1)^{a}\frac{a!}{k^a}{a \choose a} \right]+C$ (6),

sendo $C$ a constante de integração.

Agora, dado $s \in \mathbb{R}$ , com $s>0$ , seja $k=-s$ e considere $L(x)=\int x^ae^{-sx}$ .

Neste caso, verifiquem no segundo membro de (6) que, se $x \rightarrow \infty$ , temos

$L(x)\rightarrow 0+C=C$

E para $x=0$ , temos $L(0)=-\frac{1}{s}(-1)^a\frac{a!}{(-s)^a}+C=-\frac{a!}{s^{a+1}}+C$

Assim, $\int_{0}^{\infty}x^ae^{-sx}=L(\infty)-L(0)=C-\left(-\frac{a!}{s^{a+1}}+C\right )=\frac{a!}{s^{a+1}}$ (7)

Logo, para calcularmos a área $L=L(\infty)-L(0)$ no intervalo $[0,\infty)$ sob a curva da função definida por $y=\frac{x^a}{b^x}$ , façamos $k=-ln \ b$ ou $s=ln \ b$ em (7), de forma que

$L=\frac{a!}{(ln \ b)^{a+1}}$

Por exemplo, se $b=e$ , temos $L=a!$ , o que indica que o fatorial de um número pode ser dado por intermédio da área sob uma curva.

_*_

Referência Bibliográfica:

- Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, $[;3^a;]$ edição, de Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Ed.Bookman, $[;2011;]$ ;

-Transformadas de Laplace, Coleção Schaum, de Murray R.Spiegel, Ed.McGRAW-HILL, $[;1965;]$ .

Referência na net:

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html

Gostará de ler também:

099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)
087-Estudo da Função f(x)=sen x +cos x
$\rightarrow$ 037-Limite da Série Infinita Mista

028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais

5 comentários:

Prof. Paulo Sérgio6 de janeiro de 2013 às 22:27
Parabéns pelo post. Muito interessante este estudo da função definida pela razão entre a função potencial e a exponencial. Na parte que trata da integral, lembrei que eu também escrevi algo semelhante neste link
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html
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Aloisio Teixeira7 de janeiro de 2013 às 09:41
Obrigado, Paulo!

Como curiosidade, coloque no Geogebra ou programa similar a função [;y=b^x/x^a;] ( a inversa ) e veja que temos um novo aspecto gráfico que, se não for útil para alguma coisa, pelo menos seria divertido uma análise.

Deixei um comentário no seu artigo referido.

Valeu!
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Matheus14 de janeiro de 2013 às 18:05
Mais um exelente post de um ótimo blog
Aloisio vc comanda um blog mega interessante e gostaria de ter parabens por ste belíssimo blog
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Aloisio Teixeira15 de janeiro de 2013 às 09:20
Oi, Matheus!

Obrigado pela consideração!

Um abraço e volte sempre!
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sábado, 5 de janeiro de 2013

101-Estudo da Função Definida por f(x)=x^a/b^x

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V.O