Considerações iniciais
Seja e , com . Considere a função definida por
Para , temos . Logo, o ponto pertence ao gráfico, ou seja, a curva passa pela origem.
Valores para
Neste caso, ambas as funções e são positivas e crescentes, o que indica que o gráfico de encontra-se acima do eixo para . Mas, cresce muito mais rápido, de forma que quando , teremos
Onde é o valor máximo de , neste intervalo. Notem que a curva intercepta o eixo à esquerda no ponto . Mas, à direita, a curva nunca intercepta o eixo horizontal, por menor que seja positivamente.
Valores para
Seja , com e .Tendo em vista que nunca é negativo, temos dois casos a considerar:
1) ímpar.
Logo,
2) par.
Logo,
Portanto, o gráfico geral de tem um dos seguintes aspectos.
Domínio e imagem
Coordenadas do ponto máximo local
Seja a abcissa do ponto máximo ou . Logo, é a derivada de no ponto . Calculando a derivada geral da função, temos,
Pela regra do quociente,
Assim, para ou . Mas corresponde ao ponto de inflexão na origem no que concluímos que as coordenadas do ponto máximo local é
.
Logo, se ( número de Euler), temos que o ponto máximo da função tem coordenadas .
Área no intervalo
Para calcular a àrea no intervalo é necessário calcular a integral
(1)
porque, de posse deste resultado, basta fazer e calcular o valor da integral nos limites do intervalo considerado.
Usaremos a fórmula de integração por partes com a idéia de reduzir a integral (1)
à uma outra que contenha uma potência de menor grau e assim por diante,
até o grau da potência ser zero e, a partir daí, operá-la como uma
constante.
Sejam
,, e
Inserindo estes resultados na fórmula,
(2)
Por sua vez,
Por sua vez,
(3)
Substituindo (3) em (2),
(4)
Por sua vez,
(5)
(5)
Substituindo (5) em (4),
Podemos induzir que,
(6),
sendo a constante de integração.
Agora, dado , com , seja e considere .
Neste caso, verifiquem no segundo membro de (6) que, se , temos
E para , temos
Assim, (7)
Logo, para calcularmos a área no intervalo sob a curva da função definida por , façamos ou em (7), de forma que
_*_
Referência Bibliográfica:
- Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, edição, de Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Ed.Bookman, ;
-Transformadas de Laplace, Coleção Schaum, de Murray R.Spiegel, Ed.McGRAW-HILL, .
Referência na net:
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html
Referência na net:
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html
Parabéns pelo post. Muito interessante este estudo da função definida pela razão entre a função potencial e a exponencial. Na parte que trata da integral, lembrei que eu também escrevi algo semelhante neste link
ResponderExcluirhttp://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html
Obrigado, Paulo!
ResponderExcluirComo curiosidade, coloque no Geogebra ou programa similar a função [;y=b^x/x^a;] ( a inversa ) e veja que temos um novo aspecto gráfico que, se não for útil para alguma coisa, pelo menos seria divertido uma análise.
Deixei um comentário no seu artigo referido.
Valeu!
Adicionei um link deste post no post que eu escrevi. Até mais.
ExcluirMais um exelente post de um ótimo blog
ResponderExcluirAloisio vc comanda um blog mega interessante e gostaria de ter parabens por ste belíssimo blog
Oi, Matheus!
ResponderExcluirObrigado pela consideração!
Um abraço e volte sempre!