ELEMENTOS: 104-As Ovais de Cassini e a Lemniscata de Bernoulli

Giovanni Domenico Cassini ( $1625-1712$ ) foi um astrônomo e matemático italiano que, nas suas tentativas de compreender o movimento dos corpos celestes, apresentou estranhas curvas como alternativas às trajetórias elípticas de Kepler ( $1571-1630$ ).

Como estudamos no ensino médio, em uma elipse, a soma da distância de um ponto da mesma a um de seus focos com a distância deste mesmo ponto ao outro foco é constante.

Cassini supôs que, em um movimento orbital de um astro, em torno de dois focos, no lugar de pensar na soma, seria o produto das distâncias consideradas anteriormente que seria constante.

Neste último caso, a equação resultante gera curvas que ficaram conhecidas como ovais de Cassini, mesmo que nem sempre tenham o aspecto sugerido.

A lemniscata de Bernoulli é um caso particular de oval de Cassini, embora dificilmente se possa imaginar um planeta com tal trajetória.

Vamos calcular, agora, a equação de um ponto que descreve uma trajetória cujo produto das distâncias deste ponto à dois focos fixados seja sempre constante ( como sugerido por Giovanni Cassini).

Considere o diagrama a seguir.

No diagrama, os pontos $[;F_2(-a,0);]$ e $[;F_1(a,0);]$ são fixados ao longo do eixo $[;Ox;]$ simetricamente em relação a origem $[;O;]$ . Os mesmos são os focos da curva que queremos equacionar.

Considere o ponto $[;P;]$ móvel em relação à origem $[;O;]$ . Sua coordenada polar é $(r,\theta)$ enquanto sua coordenada cartesiana é $[;(x,y);]$ .

$[;d_1;]$ é a distância de $[;P;]$ ao foco $[;F_1;]$ e $[;d_2;]$ é a distância de $[;P;]$ ao foco $[;F_2;]$ .

O padrão de movimento de $[;P;]$ é tal que $[;d_1.d_2=k=cte;]$ .

Nestas condições, qual a equação que descreve a trajetória de $[;P;]$ ?

Para começar, usaremos a lei dos cossenos duas vezes. Primeiro para expressar $[;d_1;]$ no triângulo $[;POF_1;]$ e depois para expressar $[;d_2;]$ no triângulo $[;POF_2;]$ .

$d_1^2=r^2+a^2-2ar.cos \ \theta$

$\underbrace{d_2^2}=r^2+a^2-2ar.cos(\pi-\theta)=r^2+a^2-2ar.(-cos \ \theta)=\underbrace{r^2+a^2+2ar.cos \ \theta}$

Assim, $d_1^2d_2^2=k^2=[(r^2+a^2)-(2ar.cos \ \theta)][(r^2+a^2)+(2ar.cos \ \theta)] \Rightarrow$

$k^2=(r^2+a^2)^2-(2ar.cos \ \theta)^2 \Rightarrow$

$k^2=r^4+2r^2a^2+a^4-4a^2r^2.cos^2 \ \theta \Rightarrow$

$k^2=r^4+a^4+2r^2a^2(1-2cos^2 \ \theta)$

Mas, $2cos^2 \ \theta=1+cos \ 2\theta$ .Substituindo,

$k^2=r^4+a^4+2r^2a^2[1-(1+cos \ 2\theta)] \Rightarrow$

$k^2=r^4+a^4-2r^2a^2(cos \ 2\theta)$ (1)

Esta é a equação polar das ovais que pode ser simplificada na seguinte situação particular.

Observando novamente o diagrama

vejam que no caso do ponto $[;P;]$ , em seu trajeto, passar pela origem $[;O;]$ e, no momento em que ele estiver neste ponto, teríamos $[;d_2=OF_2=a;]$ e $[;d_1=OF_1=a;]$ , de forma que $[;d_1d_2=k=a^2;]$ . Substituindo este valor de $[;k;]$ em (1):

$(a^2)^2=r^4+a^4-2r^2a^2(cos \ 2\theta) \Rightarrow$

$r^2=2a^2cos \ 2\theta$ (2)

Voltaremos a esta forma reduzida mais a frente.

Colocaremos (1) agora nas variáveis $[; x;]$ e $[;y;]$ . Já que $[;r^2=x^2+y^2;]$ , $sen \ \theta=\frac{y}{r}$ e $cos \ \theta=\frac{x}{r}$ , temos

$k^2=r^4+a^4-2r^2a^2(cos \ 2\theta) \Rightarrow$
$k^2=r^4+a^4-2r^2a^2(cos^2 \ \theta-sen^2 \ \theta) \Rightarrow$
$k^2=(x^2+y^2)^2+a^4-2r^2a^2\left(\frac{x^2}{r^2}-\frac{y^2}{r^2}\right) \Rightarrow$
$k^2=(x^2+y^2)^2+a^4-2a^2(x^2-y^2) \Rightarrow$
$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=k^2-a^4$ (3)

que é a equação cartesiana das ovais de Cassini. Temos três casos a considerar referente ao produto $[;k=d_1d_2=cte;]$ :

a) $[;k>a^2;]$

b) $[;k=a^2;]$

c) $[;k<a^2;]$

Estes três casos originam três formatos da tragetória do ponto $[;P;]$ ou curvas em estudo.

Vamos aos gráficos.

a) $[;k>a^2;]$

Temos então, $[;(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=k^2-a^4>0;]$ e o trajeto do ponto $[;P;]$ se assemelha à um "biscoito" desde que a diferença $[;k^2-a^4;]$ não seja muito grande.

Quando o produto $[;d_1d_2=k(cte)>a^2;]$ crescer gradualmente tendendo para o infinito ( considerado em cada caso particular, pois $[;k;]$ é uma constante ), ou seja, quando $[;k^2-a^4>0;]$ diferir cada vez mais, então o gráfico de "biscoito", tenderá para uma oval e desta para uma forma circular, dando para entender a escolha de Cassini para estas curvas, pois parecem com órbitas. Hoje sabemos que este matemático estava errado e que as órbitas celestes realmente são elipses com suas equações específicas, uma vitória das leis de Kepler justificadas pela matemática de Newton ( $1642-1727$ ).

Em contrapartida, se o produto $[;d_1d_2=k(cte)>a^2;]$ decrescer tendendo para $[;a^2;]$ ( $k\rightarrow a^2$ ), ou seja, se $k^2-a^4 \rightarrow 0$ , então o biscoito afinará a cintura cada vez mais onde a mesma tenderá para o cruzamento dos eixos, sem tocá-lo.

b) $[;k=a^2;]$

Neste caso, temos $[;(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0;]$ e o trajeto do ponto $[;P;]$ é semelhante á um "oito deitado".

O gráfico passa pela origem e o equivalente polar desta equação é $[;r^2=2a^2cos \ 2\theta;]$ já vista em (2).

Esta curva é conhecida como lemniscata de Bernoulli. James Bernoulli ( $1654-1705$ ), matemático e cientista suíço, apresentou-a em $[;1694;]$ . Apesar do aspecto incomum, ela teve um papel importante nas obras de Gauss e Abel sobre funções elípticas e construções com régua e compasso.

c) $[;k<a^2;]$

Aqui, temos $[;(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=k^2-a^4<0;]$ . Ocorre um curioso fenômeno geométrico. É como se a origem cortasse o "oito deitado" o dividindo em duas partes simétricas em relação ao eixo $[;Oy;]$ . Cada parte tem um aspecto oval. E também é como se o ponto $[;P;]$ tivesse um reflexo de sua trajetória do lado esquerdo. De fato, cada ponto da parte do gráfico da esquerda também obedece a lei $[;d_1d_2=k(cte)<a^2;]$ .

Quando $[;k=d_1d_2=k(cte)<a^2;]$ tender para zero, ou seja, quando $k^2-a^4 \rightarrow -a^4$ então os aspectos ovais se retrairão, um para a esquerda e o outro para a direita, onde cada um diminuirá de tamanho, ficando cada vez mais parecido com um círculo cujo centro é o seu respectivo foco.

Até que, quando $[;k=0;]$ , ou seja, $[;(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=-a^4;]$ , então o gráfico desta equação será apenas dois pontos sobre o eixo $[;Ox;]$ ( os outroras focos ).

Apesar de seu equívoco no formato das órbitas, Cassini nos legou a beleza das curvas estudadas neste post. Além disso, realizou importantes trabalhos em Astronomia. Registrou a aparição de inúmeros cometas. Produziu precisas tabelas solares. Observou os períodos de rotação de Vênus, Marte e Júpiter. Quando foi nomeado diretor do Observatório Astronômico de Paris, descobriu as luas de Saturno, Jápeto e Reia em $[;1671;]$ e $[;1672;]$ , respectivamente. Em $[;1675;]$ descobriu uma parte escura dos anéis de Saturno que hoje chamamos de Divisão de Cassini. Em $[;1684;]$ , descobriu mais dois anéis de Saturno, Tétis e Dione.

Referência bibliográfica:

[1] Cálculo com Geometria Analítica, volume $[;2;]$ , de George F.Simmons, Editora Mc.Graw-Hill, $[;1988;]$ ;
[2] Curvas Notáveis, de A.I.Markuchevitch, Atual Editora, $[;1995;]$ .

Referência na Net:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Domenico_Cassini

Gostará de ler também:

101-Estudo da Função f(x)=x^a/b^x
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)
087-Estudo da Função f(x)=sen x +cos x
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
028-Gráficos Cartesianos Algébricos

10 comentários:

Prof. Paulo Sérgio23 de janeiro de 2013 às 23:37
Post muito bem elaborado, uma verdadeira aula de Geometria Analítica e História da Matemática. Certa vez rascunhei alguma coisa sobre as ovais de Cassini, mas reconheço uue este post ficou muito melhor do que minhas ideias rascunhadas. Parabéns.
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Kleber Kilhian25 de janeiro de 2013 às 10:13
Olá Aloísio, que maravilha, não? Este estudo que fez ficou muito bom, analisando os valores de k separadamente podemos ver seu comportamento gráfico. As imagens estão muito bem elaboradas, o que facilita bastante o entendimento. Como é interessante a matemática: às vezes de um problema, surgem novas teorias, daí sua beleza. Apesar de estar errado na sua teoria das órbitas, podemos ver que Cassini foi muito importante para a astronomia e matemática, tanto é verdade que hoje temos a sonda Cassini-Huygens orbitanto Saturno.

Grande abraço!
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Kleber Kilhian26 de janeiro de 2013 às 11:22
Quando li sua questão, imaginei que fosse assim mesmo, sólidos de revolução, obtidos quando tais curvas são rotacionadas em torno do eixo dos x. Acho que a teoria será fácil para você, só tem que usar um software para gerar as curvas em 3d.

Quando fiz aquelas construções de ovos de galinha, tinha salvo estas páginas:

http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm
http://www16.ocn.ne.jp/~akiko-y/Egg_by_Itou/index_egg_by_Itou_E.html

trata de ovais, bem legal.

Achei este site que gera gráficos online>

http://cose.math.bas.bg/webMathematica/MSP/Sci_Visualization/3DFunctionPlot.msp

Entre com a função e pressione o botão "EvaluateStatic" para gerar o gráfico.

Vou procurar como fazer na Wolfram Alpha. O Paulo deve saber. Veja nos links:

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/11/superficies-parametricas-atraves-do.html

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/01/superficies-parametricas-atraves-do.html

Abraços!
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Unknown24 de novembro de 2014 às 12:11
Na passagem da equação (1) da lemniscata de Bernoulli para a forma reduzida (2) dividiu-se ambos os membros da equação (1) por r^2.Mas nesse caso, considerando o ponto P na origem O, sua coordenada polar r é nula, logo acho que não poderia haver tal simplificação.Se eu estiver enganado me corrija, por favor.
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Aloisio Teixeira26 de novembro de 2014 às 17:48
d1.d2=a^2 é a condição que gera toda a curva, por corolário de definição. Portanto, vale para todos os pontos.
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terça-feira, 22 de janeiro de 2013

104-As Ovais de Cassini e a Lemniscata de Bernoulli

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V.O