ELEMENTOS: 105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama

Seja uma função sequencial $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por

$x_n=n_*^p=p!{n-1 \choose p}$ ,

com $p \in \mathbb{N}$ e a combinação ${n-1 \choose p}=0$ para $n-1<p$

Digo que $n_*^p$ no Cálculo Discreto é o equivalente algébrico do monômio $t^p$ ( $t \in \mathbb R$ variável ) no Cálculo Infinitesimal, tendo em vista que a derivada discreta $\Delta x_n=x_{n+1}-x_n$ e a integral discreta $X_n$ ( tal que $X_{n+1}-X_n=x_n$ ) de $x_n=n_*^p$ são, respectivamente

$\Delta x_n=\Delta(n_*^p)=p.n_*^{p-1}$

$\Delta^{-1}x_n=X_n= \rfloor \lceil n_*^p=\frac{n_*^{p+1}}{p+1}+C$

onde cada resultado tem um formato semelhante à derivada ou à integral infinitesimais de $f(t)=t^p$ .

Demonstração. Ver lema $4$ do artigo 093 . Naquele texto considere $x=n$ e $\Delta x=1$ .
Ainda, a base $2$ e a base $e$ ( número de Euler ) são equivalentes funcionais nos dois Cálculos em questão, porque

$\Delta(2^n)=2^n$
$\frac{d}{dt}(e^t)=e^t$

sendo que o primeiro caso é facilmente verificável usando o operador $\Delta x_n=x_{n+1}-x_n$ em $x_n=2^n$ .

Vejam o reflexo destas equivalências nas seguintes comparações da transformada de Laplace e da Função Gama ( na função contínua $F(t)=t^p$ ) com as versões discretas de base $[;2;]$ definidas ( na função discreta $x_n=n_*^p$ ) conforme quadro a seguir.

Os operadores contínuos aplicados em $F(t)=t^p$ são demonstrados indiretamente no post 101 por ocasião do estudo analítico da função definida por $y=\frac{x^a}{b^x}$ .

Demonstração da Transformada Discreta de Laplace Base $2$ para
$x_n=n_*^p$

Para provar que $l_{d2}\left \{ n_*^p \right \}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-sn}n_*^p=\frac{p!}{(2^s-1)^{p+1}}$ utilizarei o seguinte resultado demonstrado no post 037:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{B^n}=$

$\left(\frac{1}{B-1}\right)^1P(1) +\left(\frac{1}{B-1}\right)^2P_1(1)+\left(\frac{1}{B-1}\right)^3P_2(1)+...+\left(\frac{1}{B-1}\right)^{p+1}P_p(1)$ (1)

onde, $P(n)$ é um polinômio de $p$ -ésimo grau ;

$B \in \mathbb{R}$ , com $|B|>1$ ; e

$P_1(1)$ , $P_2(1)$ ,..., $P_p(1)$ são as derivadas discretas consecutivas ( de ordens $1$ , $2$ ,..., $p$ , respectivamente) de $P(n)$ , para $n=1$ .

Podemos considerar $x_n=n_*^p=p!{n-1 \choose p}$ um polinômio de $p$ -ésimo grau, pois

$P(n)=x_n=n_*^p=(n-1)(n-2)...(n-p)$ (2)

As derivadas discretas consecutivas de $P(n)$ são

$P_1(n)=p.n_*^{p-1}=p(n-1)(n-2)...[n-(p-1)]$

$P_2(n)=p(p-1).n_*^{p-2}=p(p-1)(n-1)(n-2)...[n-(p-2)]$
.............................................................................................................

$P_i(n)=i!{p \choose i}(p-i)!{n-1 \choose p-i}$

De forma que para $i=p-1$ , temos

$P_{p-1}(n)=(p-1)!{p \choose p-1}(p-p+1)!{n-1 \choose p-p+1}=(p-1)!{p \choose p-1}(n-1)$
E, para $i=p$ , obtemos

$P_p(n)=p!{p \choose p}(p-p)!{n-1 \choose p-p}=p!.1.1!.1=p!$

Notem que em todas as expressões de $P_i(n)$ , para $1\leq i<p$ , consta o fator $(n-1)$ . Logo, nessa faixa de valores da ordem $i$ da derivada discreta de $P(n)$ , temos

$P_1(1)=P_2(1)=...=P_{i-1}(1)=P_i(1)=P(1)=0$ (3)

E, por último, ficamos sabendo que $P_p(n)=cte=P_p(1)=p!$ (4)

Substituindo (2), (3) e (4) em (1) , temos

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n_*^p}{B^n}=0+0+0+...+\left(\frac{1}{B-1} \right )^{p+1}p!$

Finalmente, fazendo $B=2^s$ , com $s>0$ (real),

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{-sn}n_*^p=\frac{p!}{(2^s-1)^{p+1}}=l_{d2}\left \{ n_*^p \right \}$

Demonstração da Função Gama Discreta

Conforme visto no quadro comparativo, a função gama discreta $\gamma(a)$ , para $a=p+1$ é definida como

$\gamma (p+1)= \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}n_*^p=p!$ (5)

que é um caso particular da transformada discreta de Laplace $l_{d2}\left \{ n_*^p \right \}$ , quando $s=1$ .

Vejamos, agora, uma prova de (5) utilizando a versão corrente da transformada discreta de Laplace $l_d\left \{ x_n \right \}$ que usa a base $e=2,718...$ conhecida como $TDL$ .

Esta versão teve sua aplicabilidade desenvolvida pelo mestre em matemática pura Prof Paulo Sérgio no seu blog fatosmatematicos.blogspot.com.br .

Usarei o caso particular da $TDL$ quando $x_m={m \choose p}$ , com $m \in \mathbb{N}$ , cuja demonstração encontra-se no referido blog na proposição $2$ do artigo intitulado A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência.

$l_d\left \{ {m \choose p} \right \}=\sum_{m=0}^{\infty}e^{-sm}{m \choose p}=\frac{e^s}{(e^s-1)^{p+1}}$

Fazendo $s=ln \ 2$ , temos

$\sum_{m=0}^{\infty}2^{-m}{m \choose p}=\frac{2}{(2-1)^{p+1}}=2$

Multiplicando por $\frac{p!}{2}$ ,

$\sum_{m=0}^{\infty}2^{-(m+1)}p!{m \choose p}=p!$

Fazendo $m=n-1$ ,

$\sum_{n-1=0}^{\infty}2^{-(n-1+1)}p!{n-1 \choose p}=p! \Rightarrow$

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}n_*^p=p!=\gamma (p+1)$

Referência Bibliográfica:

Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, $[;3^a;]$ edição, de Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Ed.Bookman, $[;2011;]$ .

Gostará de ler também:

037-Limite da Série Infinita Mista

093-Fórmula Delta x para Polinômios

101-Estudo da Funão Definida por y=x^a/b^x

A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência.

6 comentários:

Prof. Paulo Sérgio4 de fevereiro de 2013 às 15:00
Excelente post, gostei bastante. Temos que explorar mais esta função gama discreta. Parabéns pelo post e muito obrigado pelo link citado acima.
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Aloisio Teixeira4 de fevereiro de 2013 às 17:41
Obrigado, Prof!

Temos que achar um significado para [;n_*^p;] quando [;p;] não for um inteiro.

Do exposto tiramos que [;\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} {n \choose p}=1;]

Valeu.
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tavano4 de fevereiro de 2013 às 21:30
Oi! Teixeira! Bom primeiramente "EU SOU AVÔ". Nasceu Pietro! O bichinho tá em casa e chora como um pavarotti, mas agora tá quietinho. Então Teixeira, sobre achar um significado para "n*p". Acho que a transformada discreta, os somatórios que você desenvolveu e a função P(n;p) (dos álbuns) devem ter tudo a ver com as funções zeta e gama, outro dia fuçando (sem demonstração) na P(n;n)=n! encontrei o valor para gama(1/2)=raiz de pi com oito casas exatas não deve ser coincidência.
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Aloisio Teixeira4 de fevereiro de 2013 às 22:12
Meus parabéns, amigo Tavano, pelo acréssimo familiar! Que seu neto tem saúde plena e seja tão inteligente quanto o avô!

Acho que um grande quebra-cabeça está sendo montado. Aos poucos vamos ver como tudo se encaixará.

Queria saber sobre estes seus cálculos sobre raíz de pi. Se quiser use o e-mail.

Bem, eu não tenho uma barba branca de estudos e experiências, por isso agradeço por ter nascido na Era da Informação onde as trocas de idéias são tão facilitadas...

Abraços!

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tavano7 de fevereiro de 2013 às 16:45
Oi, Teixeira! Está pronto para assassinarmos a Matemática? Vamos lá: Escolhi o "3" que dá menos trabalho, 3!=P(3;3)=3^3 - 3(2^3) + 3X2(1^3)/2! - 3X2X1(0^3)/3!. Quanto seria 3,5!? Fiz assim 3,5!=3,5^3,5 - 3,5(2,5^3,5) + 3,5X2,5(1,5^3,5)/2! -
3,5X2,5X1,5(0,5^3,5)/3!=11,63402. Na verdade 3,5!=11,63173... Sabemos que raiz de pi=(-1/2)!=1,772453. Se dividirmos 3,5! por 3,5X2,5X1,5X0,5 obteremos (-1/2)!pela propriedade do fatorial (n+1)!=(n+1)n!. Pois é 11,63402/3,5.2,5.1,5.0,5=1,7728031..
OBS: 1)Quando fiz o mesmo acima para "7" encontrei raiz de pi com oito casas corretas
2)A "série" acima deve ter infinitos termos, caso contrário raiz de pi seria algébrico.
3)O problema de expandir mais a série acima é que entrarão números complexos do tipo [(-0,5)^3,5], e, nem sei, se será convergente.
abçs.
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domingo, 3 de fevereiro de 2013

105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama

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V.O