,
com e a combinação para
Digo que no Cálculo Discreto é o equivalente algébrico do monômio ( variável ) no Cálculo Infinitesimal, tendo em vista que a derivada discreta e a integral discreta ( tal que ) de são, respectivamente
onde cada resultado tem um formato semelhante à derivada ou à integral infinitesimais de .
Demonstração. Ver lema do artigo 093 . Naquele texto considere e .
Ainda, a base e a base ( número de Euler ) são equivalentes funcionais nos dois Cálculos em questão, porque
Ainda, a base e a base ( número de Euler ) são equivalentes funcionais nos dois Cálculos em questão, porque
sendo que o primeiro caso é facilmente verificável usando o operador em .
Vejam o reflexo destas equivalências nas seguintes comparações da transformada de Laplace e da Função Gama ( na função contínua ) com as versões discretas de base definidas ( na função discreta ) conforme quadro a seguir.
Os operadores contínuos aplicados em são demonstrados indiretamente no post 101 por ocasião do estudo analítico da função definida por .
Demonstração da Transformada Discreta de Laplace Base para
Para provar que utilizarei o seguinte resultado demonstrado no post 037:
(1)
onde, é um polinômio de -ésimo grau ;
, com ; e
Podemos considerar um polinômio de -ésimo grau, pois
(2)
As derivadas discretas consecutivas de são
.............................................................................................................
De forma que para , temos
E, para , obtemos
Notem que em todas as expressões de, para , consta o fator . Logo, nessa faixa de valores da ordem da derivada discreta de , temos
(3)
E, por último, ficamos sabendo que (4)
Substituindo (2), (3) e (4) em (1) , temos
Finalmente, fazendo , com (real),
Demonstração da Função Gama Discreta
Conforme visto no quadro comparativo, a função gama discreta , para é definida como
(5)
que é um caso particular da transformada discreta de Laplace , quando .
Vejamos, agora, uma prova de (5) utilizando a versão corrente da transformada discreta de Laplace que usa a base conhecida como .
Esta versão teve sua aplicabilidade desenvolvida pelo mestre em matemática pura Prof Paulo Sérgio no seu blog fatosmatematicos.blogspot.com.br .
Usarei o caso particular da quando , com , cuja demonstração encontra-se no referido blog na proposição do artigo intitulado A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência.
Esta versão teve sua aplicabilidade desenvolvida pelo mestre em matemática pura Prof Paulo Sérgio no seu blog fatosmatematicos.blogspot.com.br .
Usarei o caso particular da quando , com , cuja demonstração encontra-se no referido blog na proposição do artigo intitulado A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência.
Fazendo , temos
Multiplicando por ,
Fazendo ,
Excelente post, gostei bastante. Temos que explorar mais esta função gama discreta. Parabéns pelo post e muito obrigado pelo link citado acima.
ResponderExcluirObrigado, Prof!
ResponderExcluirTemos que achar um significado para [;n_*^p;] quando [;p;] não for um inteiro.
Do exposto tiramos que [;\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} {n \choose p}=1;]
Valeu.
Oi! Teixeira! Bom primeiramente "EU SOU AVÔ". Nasceu Pietro! O bichinho tá em casa e chora como um pavarotti, mas agora tá quietinho. Então Teixeira, sobre achar um significado para "n*p". Acho que a transformada discreta, os somatórios que você desenvolveu e a função P(n;p) (dos álbuns) devem ter tudo a ver com as funções zeta e gama, outro dia fuçando (sem demonstração) na P(n;n)=n! encontrei o valor para gama(1/2)=raiz de pi com oito casas exatas não deve ser coincidência.
ResponderExcluirMeus parabéns, amigo Tavano, pelo acréssimo familiar! Que seu neto tem saúde plena e seja tão inteligente quanto o avô!
ResponderExcluirAcho que um grande quebra-cabeça está sendo montado. Aos poucos vamos ver como tudo se encaixará.
Queria saber sobre estes seus cálculos sobre raíz de pi. Se quiser use o e-mail.
Bem, eu não tenho uma barba branca de estudos e experiências, por isso agradeço por ter nascido na Era da Informação onde as trocas de idéias são tão facilitadas...
Abraços!
Oi, Teixeira! Está pronto para assassinarmos a Matemática? Vamos lá: Escolhi o "3" que dá menos trabalho, 3!=P(3;3)=3^3 - 3(2^3) + 3X2(1^3)/2! - 3X2X1(0^3)/3!. Quanto seria 3,5!? Fiz assim 3,5!=3,5^3,5 - 3,5(2,5^3,5) + 3,5X2,5(1,5^3,5)/2! -
ResponderExcluir3,5X2,5X1,5(0,5^3,5)/3!=11,63402. Na verdade 3,5!=11,63173... Sabemos que raiz de pi=(-1/2)!=1,772453. Se dividirmos 3,5! por 3,5X2,5X1,5X0,5 obteremos (-1/2)!pela propriedade do fatorial (n+1)!=(n+1)n!. Pois é 11,63402/3,5.2,5.1,5.0,5=1,7728031..
OBS: 1)Quando fiz o mesmo acima para "7" encontrei raiz de pi com oito casas corretas
2)A "série" acima deve ter infinitos termos, caso contrário raiz de pi seria algébrico.
3)O problema de expandir mais a série acima é que entrarão números complexos do tipo [(-0,5)^3,5], e, nem sei, se será convergente.
abçs.
Oi, Tavano!
ExcluirTeve um matemático que não me recordo o nome que disse que:
"Usamos a INTUIÇÃO para descobrir a RAZÃO para demonstrar".
Sem dúvidas, na maioria das vezes a percepção vem primeiro que a compreenção.
Interessante os seus cálculos. Vou reproduzir no papel, inclusive com outros exemplos.
Um abraço!