Diagrama 1
Diagrama 2
Na geometria analítica, o teorema de Pitágoras é expressado pela fórmula da distância entre os pontos e .
Vejamos como podemos utilizar estes dois enfoques do para demonstrar a fórmula do cosseno da soma de dois arcos:
A estratégia para provar é a seguinte. Observem o diagrama diagrama . Primeiro calcula-se a distância com as coordenadas de cada ponto. Depois transladamos o triângulo ( diagrama ) de forma que o ângulo fique negativo . Do mesmo jeito, calculamos novamente a distância . Então igualamos os resultados das distâncias ( já que são a mesma ) e cancelamos os termos iguais. O que sobrar é a expressão para . Vamos aos cálculos.
Diagrama 3
No diagrama as coordenadas de e são:
A distância entre e é tal que
(1)
Diagrama 4
A distância entre e é tal que
(2)
Igualando (1) com (2), temos
_*_
Para achar basta lembrar que , e fazer
Como ,deixo como exercícios aos leitores as provas de que
Para finalizar, deixo um excelente vídeo do youtube sobre a demonstração tradicional para .Obs: para aumentar a tela cliquem no quadrado abaixo e à direita do vídeo. Ou então assistam neste link: http://www.youtube.com/watch?v=X7icfnFNA6c
Realmente, a demostração apresentada é muito elegante: mais natural, ao meu ver, que a demonstração tradicional.
ResponderExcluirParabéns.
Oi, João Elias F.S. Rodrigues!
ResponderExcluirEstou vendo se consigo um ajuste para provar sen(a+b) sem recorrer para cos(a+b).
Obrigdo pela visita e comentário.
Um abraço