Todos os pontos que satisfazem a elegante equação ^2=x "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
geram a seguinte curva.
Se isolarmos a variável 
no primeiro membro, temos a equação equivalente 
que determina duas funções. Uma acima do eixo 
e outra abaixo.
O primeiro objetivo é calcular as coordenadas do ponto máximo e, para isto, estudaremos a função definida por =+\sqrt{\sqrt{x}-x} "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
.
Solução de Felipe Diniz do grupo Física e Matemática ( Facebook ).
Se =\sqrt{g(x)} "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
, temos =\frac{g^{'}(x)}{2\sqrt{g(x)}} "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
que é a abcissa do ponto máximo de  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
. Substituindo este valor na função, encontramos a ordenada deste ponto crítico.
Interessante que o ponto máximo  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
é racional.
Interessante solução de Alexandre Cezar do grupo Física e Matemática ( Facebook ).
Desde que 
em 
, se for máximo, então 
também será.
Fazendo 
, temos  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
(1)
Pela teoria da função do
grau, recordamos que o gráfico de (1) é uma parábola com a concavidade para baixo. Os zeros de 
são 
e 
. A abcissa do ponto máximo de é a média das raízes. Logo ,
Mas, 
que é a abcissa do máximo de .
Por sua vez, fazendo a substituição deste valor nesta equação, encontramos a ordenada seu ponto máximo 
.
Para obter a relação inversa de 
, basta trocar o por 
e vice-versa. Então a equação da inversa fica ^2=y "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
e seu gráfico é:
Defino como domínio de uma relação os valores de para os quais existem pontos no seu gráfico.Percebam que, neste caso, os limites esquerdo e direito do domínio de 
correspondem ao máximo e mínimo de , respectivamente.
Desenvolvendo a equação da inversa, temos
Se pensarmos como uma equação do segundo grau em , então o discriminante delta nulo 
será uma equação em que, resolvida, fornecerá aquelas abcissas que se relacionam apenas com uma ordenada, ou seja, as abcissas dos limites do domínio da relação inversa. Assim,
no que encontramos 
. Logo o domínio da relação inversa é o intervalo 
. Consequentemente, a ordenada do ponto máximo da relação direta é que, substituindo nesta, encontramos a abcissa do seu ponto máximo 
.
_*_
Nosso segundo objetivo é calcular o volume do sólido de revolução da função 
quando esta curva girar ao redor do eixo .
Curiosamente, como foi observado por Edinaldo Oliveira do grupo Matemáticos-Brasil (Facebook), é mais fácil calcular o volume de revolução do que a área ou o comprimento da curva.
Neste caso, o volume do sólido de revolução em relação ao eixo nos limites 
e 
é fornecido pela integral definida
Gostará de ler também:
104-As Ovais de Cassini e a Lemniscata de Bernoulli
101-Estudo da Função f(x)=x^a/b^x
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)
087-Estudo da Função f(x)=sen x +cos x
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
028-Gráficos Cartesianos Algébricos
Olá, Aloísio!!!!
ResponderExcluirParabéns, grande parceiro, pelo post interessaste e por aquela sua solução surpreendente que apresentou!!!! muito massa, legal!!!!
Eu te falara que achava que a solução desse seu desafio, sairia através do uso de derivadas, mas, só falei!!!! Ando às voltas com as minhas invenções por aqui e, já notei que... é mais fácil quebrar a cabeça dos outros do que a minha!!!! Mas, dito isso no popular é: preguiça mental, mesmo!!!! KKKKKKKKK!!!!!!!!
Mas, Aloísio, o fato, é que gostei da postagem em si e, das soluções apresentadas e mando aqui, meus parabéns para você e para os demais colegas matemáticos que apresentaram as soluções ao desafio proposto!!!!
Um grande abraço!!!!!
Oi, Valdir!
ResponderExcluirObrigado por gostar. A minha solução apresentada é parte de um estudo maior que estou fazendo sobre domínio de relações.
Mas, gostei muito da segunda solução. Isto mostra que a questão pode cair em prova de vestibular.
Tenho certeza que vc não tem a chamada preguiça mental devido a sua conhecida capacidade criativa.
Valeu, Valdir, Abraços!