quinta-feira, 7 de março de 2013

107-Equação (y^2+x)^2=x

Todos os pontos que satisfazem a elegante equação geram a seguinte curva. 

 Se isolarmos a variável no primeiro membro, temos a equação equivalente que determina duas funções. Uma acima do eixo e outra abaixo.

O primeiro objetivo é calcular as coordenadas do ponto máximo e, para isto, estudaremos a função definida por .  


MÉTODO: USANDO DERIVADA  


 Solução de Felipe Diniz do grupo Física e Matemática ( Facebook ).

Se , temos   

quando . Assim, fazendo :

 
que é a abcissa do ponto máximo de . Substituindo este valor na função, encontramos a ordenada deste ponto crítico.


Interessante que o ponto máximo   é racional.


  MÉTODO: USANDO MATEMÁTICA ELEMENTAR 


 Interessante solução de Alexandre Cezar do grupo Física e Matemática ( Facebook ).

Desde que em ,  se for máximo, então também será.

Fazendo , temos (1)

Pela teoria da função dograu, recordamos que o gráfico de  (1) é uma parábola com a concavidade para baixo. Os zeros de são e . A abcissa do ponto máximo de é a média das raízes. Logo ,


 Mas,  que é a abcissa do máximo de .

Por sua vez,  fazendo a substituição deste valor nesta equação, encontramos a ordenada seu ponto máximo


MÉTODO: CALCULANDO O "DOMÍNIO" DA INVERSA (minha solução).

Para obter a relação inversa de , basta trocar o por e vice-versa. Então a equação da inversa fica e seu gráfico é:

Defino como domínio de uma relação os valores de para os quais existem pontos no seu gráfico.Percebam que, neste caso,  os  limites esquerdo e direito do domínio  de correspondem ao máximo e mínimo de , respectivamente.

Desenvolvendo a equação da inversa, temos

 
 
Se pensarmos como uma equação do segundo grau em ,  então o discriminante delta nulo será uma equação em que, resolvida, fornecerá aquelas abcissas que se relacionam apenas com uma ordenada, ou seja, as abcissas dos limites do domínio da relação inversa.  Assim,

  
 

no que encontramos . Logo o domínio da relação inversa é o intervalo .  Consequentemente, a ordenada do ponto máximo da relação direta é que, substituindo nesta, encontramos a abcissa do seu ponto máximo


_*_


Nosso segundo objetivo é calcular o volume do sólido de revolução da função quando esta curva girar ao redor do eixo .

  
Curiosamente, como foi observado por Edinaldo Oliveira do grupo Matemáticos-Brasil (Facebook),  é mais fácil calcular o volume de revolução do que a área ou o comprimento da curva.

Neste caso, o volume do sólido de revolução em relação ao eixo nos limites e é fornecido pela integral definida

 

 
 
 
 
 









2 comentários:

  1. Olá, Aloísio!!!!

    Parabéns, grande parceiro, pelo post interessaste e por aquela sua solução surpreendente que apresentou!!!! muito massa, legal!!!!

    Eu te falara que achava que a solução desse seu desafio, sairia através do uso de derivadas, mas, só falei!!!! Ando às voltas com as minhas invenções por aqui e, já notei que... é mais fácil quebrar a cabeça dos outros do que a minha!!!! Mas, dito isso no popular é: preguiça mental, mesmo!!!! KKKKKKKKK!!!!!!!!

    Mas, Aloísio, o fato, é que gostei da postagem em si e, das soluções apresentadas e mando aqui, meus parabéns para você e para os demais colegas matemáticos que apresentaram as soluções ao desafio proposto!!!!

    Um grande abraço!!!!!

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  2. Oi, Valdir!

    Obrigado por gostar. A minha solução apresentada é parte de um estudo maior que estou fazendo sobre domínio de relações.

    Mas, gostei muito da segunda solução. Isto mostra que a questão pode cair em prova de vestibular.

    Tenho certeza que vc não tem a chamada preguiça mental devido a sua conhecida capacidade criativa.

    Valeu, Valdir, Abraços!

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