ELEMENTOS: 110-Somatórios Trigonométricos e TDL do Seno e Cosseno

Veremos neste artigo:

$[;1^o;]$ -A demonstração das identidades

$sen (n \alpha)=2sen[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-sen [(n-2) \alpha]$

$cos (n \alpha)=2cos[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-cos [(n-2) \alpha]$

$[;2^o;]$ - Com as identidades, o cálculo dos somatórios $\sum_{n=1}^n b^nsen (\alpha n)$ e $\sum_{n=1}^n b^ncos(\alpha n)$ ;

$[;3^o;]$ - Com os somatórios, a obtenção das transformadas discretas de Laplace ( $TDL$ ) $l_d \left \{ sen (n) \right \}$ e $l_d \left \{ cos (n) \right \}$ nas bases $2$ e $e$ .

Fórmulas para seno e cosseno de arcos múltiplos

Primeira identidade. $sen (n \alpha)=2sen[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-sen [(n-2) \alpha]$

Demonstração. Levando em conta que $n \alpha=(n-1) \alpha+\alpha$ , temos

$sen(n \alpha)=sen[(n-1) \alpha+\alpha]=sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)+sen(\alpha)cos[(n-1) \alpha]$

Somando com $sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)-sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)=0$ , obtemos

$sen(n \alpha)=$

$\overbrace{sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)}+\overbrace{sen(\alpha)cos[(n-1) \alpha]}+$

$+\underbrace{sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)} \underbrace{-sen[(n-1) \alpha]cos(\alpha)}=$

$2sen[(n-1)\alpha] cos (\alpha)+sen [\alpha-(n-1)\alpha]$

Mas como $sen[\alpha-(n-1)\alpha]=sen(2\alpha-\alpha n)=sen[-(n-2) \alpha]=-sen[(n-2) \alpha]$ , chegamos à

$sen(n \alpha)=2sen[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-sen [(n-2) \alpha]$

Segunda identidade. $cos (n \alpha)=2cos[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-cos [(n-2) \alpha]$

Demonstração. Desde que $n \alpha=(n-1) \alpha+\alpha$ , temos

$cos(n \alpha)=cos[(n-1) \alpha+\alpha]=cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)-sen[(n-1) \alpha]sen(\alpha)$

Somando com $cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)-cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)=0$ , obtemos

$cos(n \alpha)=$

$\overbrace{cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)} \overbrace{-sen[(n-1) \alpha]sen(\alpha)}+$

$+\underbrace{cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)} \underbrace{-cos[(n-1) \alpha]cos(\alpha)}=$

$2cos[(n-1)\alpha]cos(\alpha)-cos[(n-1)\alpha-\alpha]=$

$2cos[(n-1)\alpha] cos (\alpha)-cos [(n-2) \alpha]$

Somatório exponencial-trigonométrico do seno

$\sum_{n=1}^n b^nsen (\alpha n)$

Usaremos a primeira identidade. Começaremos com

$\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=bsen(\alpha)+b^2sen(2 \alpha)+b^3sen(3 \alpha)+...+b^nsen(n \alpha)=$

$bsen(\alpha)+$

$b^2. \underbrace{2sen(\alpha)cos(\alpha)}_{sen(2\alpha)}+$

$b^3.\underbrace{[2sen(2 \alpha)cos(\alpha)-sen(\alpha)]+}_{sen(3 \alpha)}$

$+...+$

$b^n.\underbrace{2sen[(n-1)\alpha]cos(\alpha)-sen[(n-2)\alpha]}_{sen(n \alpha)}=$

$bsen(\alpha)-$

$b^3sen(\alpha)-$

$b^4sen(2 \alpha)-$

$...-b^n sen[(n-2) \alpha]+$

$2b^2sen(\alpha)cos(\alpha)+$

$2b^3 sen(2\alpha)cos(\alpha)+$

$2b^4 sen(3\alpha)cos(\alpha)+$

$...+2b^n sen[(n-1)\alpha]cos(\alpha)$

À partir da segunda parcela, colocando $b^2$ em evidência e, por sua vez, $2bcos(\alpha)$ em evidência, temos

$\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=$

$bsen(\alpha)-b^2[bsen(\alpha)+b^2sen(2 \alpha)+b^3sen(3 \alpha)+...+b^{(n-2)}sen(n-2) \alpha]+$

$2bcos(\alpha)[bsen(\alpha)+b^2sen(2 \alpha)+b^3sen(3 \alpha)+...+b^{(n-1)}sen(n-1) \alpha]$

Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete $\sum_{n=1}^n b^nsen (\alpha n)$ , temos

$\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=$

$bsen(\alpha)-b^2\left \{ \sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)-b^{n-1}sen[(n-1)\alpha]-b^n sen(n \alpha) \right \}+$ $2bcos(\alpha) [\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)-b^n sen(n \alpha)]=$

$bsen(\alpha)-b^2 \sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)+b^{n+1}sen[(n-1) \alpha]+b^{n+2}sen(n \alpha)+$
$2bcos(\alpha)\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)-2b^{n+1}cos(\alpha) sen(n \alpha)$

Por fim, resolvemos a equação em $\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)$ :

$\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)+b^2\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)-2bcos(\alpha)\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=$

$bsen(\alpha)+b^{n+1}sen[(n-1) \alpha]+b^{n+2}sen(n \alpha)+$

$-2b^{n+1}cos(\alpha) sen(n \alpha) \Rightarrow$

$[1+b^2-2bcos(\alpha)]\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=$

$bsen(\alpha)+b^{n+2}sen(n \alpha)+b^{n+1} \underbrace{\left{sen[(n-1)\alpha]-2cos(\alpha)sen(n \alpha) \right} }_{-sen[(n+1)\alpha]}\Rightarrow$

$\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=\frac{bsen(\alpha)-b^{n+1}sen[(n+1)\alpha]+b^{n+2}sen(n \alpha)}{1+b^2-2bcos(\alpha)}$

Somatório exponencial-trigonométrico do cosseno

O somatório $[;\sum_{n=1}^n b^ncos (\alpha n);]$ é calculado nos mesmos moldes do anterior. Usaremos, desta vez, a identidade para $cos(n \alpha)$ . Observem que no processo não utilizaremos de forma nenhuma a função seno.

$\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=bcos(\alpha)+b^2cos(2 \alpha)+b^3cos(3 \alpha)+...+b^ncos(n \alpha)=$

$bcos(\alpha)+$

$b^2. \underbrace{2cos(\alpha)cos(\alpha)}_{cos(2\alpha)}+$

$b^3.\underbrace{[2cos(2 \alpha)cos(\alpha)-cos(\alpha)]+}_{cos(3 \alpha)}$

$[;+...+;]$

$b^n.\underbrace{2cos[(n-1)\alpha]cos(\alpha)-cos[(n-2)\alpha]}_{cos(n \alpha)}=$

$bcos(\alpha)-$

$b^3cos(\alpha)-$

$b^4cos(\alpha)-$

$...-b^n cos[(n-2) \alpha]+$

$2b^2cos(\alpha)cos(\alpha)+$

$2b^3 cos(2\alpha)cos(\alpha)+$

$2b^4 cos(3\alpha)cos(\alpha)+$

$...+2b^n cos[(n-1)\alpha]cos(\alpha)$

À partir da segunda parcela, colocando $b^2$ em evidência e, por sua vez, $2bcos(\alpha)$ em evidência, temos

$\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=$

$bcos(\alpha)-b^2[bcos(\alpha)+b^2cos(2 \alpha)+b^3cos(3 \alpha)+...+b^{(n-2)}cos(n-2) \alpha]+$

$2bcos(\alpha)[bcos(\alpha)+b^2cos(2 \alpha)+b^3cos(3 \alpha)+...+b^{(n-1)}cos(n-1) \alpha]$

Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete $\sum_{n=1}^n b^ncos (\alpha n)$ ,temos

$\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=$

$bcos(\alpha)-b^2\left \{ \sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)-b^{n-1}cos[(n-1)\alpha]-b^n cos(n \alpha) \right \}+$

$2bcos(\alpha) [\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)-b^n cos(n \alpha)]=$

$bcos(\alpha)-b^2 \sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)+b^{n+1}cos[(n-1) \alpha]+b^{n+2}cos(n \alpha)+$

$2bcos(\alpha)\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)-2b^{n+1}cos(\alpha) cos(n \alpha)$

Por fim, resolvemos a equação em $\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)$ :

$\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)+b^2\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)-2bcos(\alpha)\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=$

$bcos(\alpha)+b^{n+1}cos[(n-1) \alpha]+b^{n+2}cos(n \alpha)+$

$-2b^{n+1}cos(\alpha) cos(n \alpha) \Rightarrow$

$[1+b^2-2bcos(\alpha)]\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=$

$bcos(\alpha)+b^{n+2}cos(n \alpha)+b^{n+1} \underbrace{\left{cos[(n-1)\alpha]-2cos(\alpha)cos(n \alpha) \right} }_{-cos[(n+1)\alpha]}\Rightarrow$

$\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=\frac{bcos(\alpha)-b^{n+1}cos[(n+1)\alpha]+b^{n+2}cos(n \alpha)}{1+b^2-2bcos(\alpha)}$

A transformada discreta de Laplace ( $[;TDL;]$ )

A transformada discreta de Laplace ( $TDL$ ) é um operador que se usa sobre uma função discreta ( domínio natural ) de forma que obtemos uma outra função em uma nova variável: $l_d \left ( x_n \right )=X(s)$ .

Temos duas versões da $TDL$ .

A primeira consiste em multiplicar a função discreta $x_n=f(n)$ por $e^{-sn}$ e calcular o somatório nos limites $n=0$ e $n=\infty$ . ( $s$ real positivo e $e$ = número de Euler ).

$l_d\left \{ x_n \right \}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn}f(n)=X(s)$ .

Na segunda versão, multiplicamos $x_n=f(n)$ por $2^{-sn}$ e calculamos o somatório nos limites $n=1$ e $n=\infty$ . ( $s$ real positivo ).

$l_{d2}\left \{ x_n \right \}=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-sn}f(n)=X_2(s)$

A $TDL$ existirá, desde que seu somatório específico tenham um limite.

$TDL$ da função discreta $x_n=sen(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ )

Vimos que $\sum_{n=1}^n b^n sen(\alpha n)=\frac{bsen(\alpha)-b^{n+1}sen[(n+1)\alpha]+b^{n+2}sen(n \alpha)}{1+b^2-2bcos(\alpha)}$

Base $e$ . Se $\alpha=1$ , $b=e^{-s}$ , com $s>0$ e mudando os limites inferior e superior do somatório para $n=0$ e $n \rightarrow \infty$ , respectivamente, temos

$l_d \left \{ sen(n) \right \}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn}sen(n)=\frac{e^{-s}sen \ 1-0+0}{1+e^{-2s}-2e^{-s}cos \ 1} \Rightarrow$

$l_d \left \{ sen(n) \right \}=\frac{(sen \ 1)e^s}{e^{2s}-(2cos \ 1)e^s+1}$

Base $[;2;]$ . Se $\alpha=1$ , $b=2^{-s}$ , com $s>0$ e mudando o limite superior do somatório original para $[;n \rightarrow \infty;]$ , temos

$l_{d2}\left \{ sen(n) \right \}=\frac{(sen \ 1)2^s}{4^{s}-(cos \ 1)2^{s+1}+1 }$

$TDL$ da função discreta $x_n=cos(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ )

Analogamente, mas utilizando $\sum_{n=1}^n b^n cos(\alpha n)=\frac{bcos(\alpha)-b^{n+1}cos[(n+1)\alpha]+b^{n+2}cos(n \alpha)}{1+b^2-2bcos(\alpha)}$ e com a ressalva de que $e^{(-s.0)}cos(0)=1$ , temos

Base $[;e;]$ . $l_d\left \{ cos(n) \right \}=1+\frac{e^scos \ 1}{e^{2s}-(2cos \ 1)e^s+1 }\Rightarrow$

$l_d\left \{ cos(n) \right \}=\frac{e^{2s}-(cos \ 1)e^s+1}{e^{2s}-(2cos \ 1)e^s+1}$

Base $[;2;]$ . $l_{d2}\left \{ cos(n) \right \}=\frac{(cos \ 1)2^s}{4^{s}-(cos \ 1)2^{s+1}+1 }$

Referência bibliográfica.

$[1]$ Manual de Sequências e Séries - Volume $1$ , Luís Lopes, QED TEXTE, $2005$ ;
$[2]$ Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Terceira edição, Coleção SCHAUM, Bookman, $2009$ ;
$[3]$ Fundamentos de Matemática Elementar, Volume $3$ - Trigonometria, Atual Editora, $1996$ .

Gostará de ler também:

109-Seno e Cosseno de Ângulo Múltiplo
105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama
029-Somatórios Trigonométricos

037-Limite da Série Infinita Mista

A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência ( do blog FATOS MATEMÁTICOS )

7 comentários:

Prof. Paulo Sérgio2 de abril de 2013 às 18:58
Olá Aloisio. Não consegui ler as equações acima. No seu computador elas aparecem normalmente?
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Prof. Paulo Sérgio3 de abril de 2013 às 18:37
Muito bom o post Aloisio. Usou apenas ferramentas elementares para obter as identidades trigonométricas e em consequência as TDL's de sin(na) e cos(na). Eu usei a identidade de Euler para obter as TDL's.
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tavano5 de abril de 2013 às 15:38
Oi, Teixeira!
Há muito tempo não "encaro" integrais e somatórios "escabrosos" mas me parece que são do teu gosto. Tomo a liberdade de lhe sugerir um livro: "Fisica Matemática de Butkov" Era (ou é) um livro-texto para os alunos de Física da USP.(720 páginas)(Eugene Butkov)
Veja o índice:
Vetores,matrizes e Cordenadas - Funções de uma variável complexa -Equações diferenciais lineares de segunda ordem - Séries de Fourier -Transformada de Laplace - Teoria das distribuições - Transformadas de Fourier -Equações diferenciais parciais -Funções especiais - Espaços de dimensão finita -Espaços de dimensão infinita - Funções de Green - Métodos variacionais -Ondas, radiação, espalhamento - Métodos de perturbação - Tensores
Espero que goste (caso não o conheça) abçs
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terça-feira, 2 de abril de 2013

110-Somatórios Trigonométricos e TDL do Seno e Cosseno

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V.O