Veremos neste artigo:
-A demonstração das identidades
- Com as identidades, o cálculo dos somatórios e ;
- Com os somatórios, a obtenção das transformadas discretas de Laplace () e nas bases e .
Fórmulas para seno e cosseno de arcos múltiplos
Primeira identidade.
Demonstração. Levando em conta que , temos
Somando com , obtemos
Somatório exponencial-trigonométrico do seno
A transformada discreta de Laplace ( )
A transformada discreta de Laplace () é um operador que se usa sobre uma função discreta ( domínio natural ) de forma que obtemos uma outra função em uma nova variável: .
Temos duas versões da .
A primeira consiste em multiplicar a função discreta por e calcular o somatório nos limites e . ( real positivo e = número de Euler ).
Na segunda versão, multiplicamos por e calculamos o somatório nos limites e . ( real positivo ).
da função discreta ( )
Vimos que
Base . Se , , com e mudando os limites inferior e superior do somatório para e , respectivamente, temos
Base . Se , , com e mudando o limite superior do somatório original para , temos
da função discreta ( )
Analogamente, mas utilizando e com a ressalva de que , temos
Fórmulas para seno e cosseno de arcos múltiplos
Primeira identidade.
Demonstração. Levando em conta que , temos
Somando com , obtemos
Mas como , chegamos à
Segunda identidade.
Demonstração. Desde que , temos
Somando com , obtemos
Somatório exponencial-trigonométrico do seno
Usaremos a primeira identidade. Começaremos com
À partir da segunda parcela, colocando em evidência e, por sua vez, em evidência, temos
Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete , temos
Por fim, resolvemos a equação em :
Somatório exponencial-trigonométrico do cosseno
O somatório é calculado nos mesmos moldes do anterior. Usaremos, desta vez, a identidade para . Observem que no processo não utilizaremos de forma nenhuma a função seno.
Por fim, resolvemos a equação em :
Somatório exponencial-trigonométrico do cosseno
O somatório é calculado nos mesmos moldes do anterior. Usaremos, desta vez, a identidade para . Observem que no processo não utilizaremos de forma nenhuma a função seno.
À partir da segunda parcela, colocando em evidência e, por sua vez, em evidência, temos
Agora, adicionando e subtraindo termos dentro dos colchetes de forma que se complete ,temos
A transformada discreta de Laplace ( )
A transformada discreta de Laplace () é um operador que se usa sobre uma função discreta ( domínio natural ) de forma que obtemos uma outra função em uma nova variável: .
Temos duas versões da .
A primeira consiste em multiplicar a função discreta por e calcular o somatório nos limites e . ( real positivo e = número de Euler ).
.
Na segunda versão, multiplicamos por e calculamos o somatório nos limites e . ( real positivo ).
A existirá, desde que seu somatório específico tenham um limite.
da função discreta ( )
Vimos que
Base . Se , , com e mudando os limites inferior e superior do somatório para e , respectivamente, temos
Base . Se , , com e mudando o limite superior do somatório original para , temos
da função discreta ( )
Analogamente, mas utilizando e com a ressalva de que , temos
Base .
Base .
Referência bibliográfica.
Manual de Sequências e Séries - Volume , Luís Lopes, QED TEXTE, ;
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Terceira edição, Coleção SCHAUM, Bookman, ;
Fundamentos de Matemática Elementar, Volume - Trigonometria, Atual Editora, .
Gostará de ler também:
109-Seno e Cosseno de Ângulo Múltiplo
105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama
029-Somatórios Trigonométricos
Manual de Sequências e Séries - Volume , Luís Lopes, QED TEXTE, ;
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Terceira edição, Coleção SCHAUM, Bookman, ;
Fundamentos de Matemática Elementar, Volume - Trigonometria, Atual Editora, .
Gostará de ler também:
109-Seno e Cosseno de Ângulo Múltiplo
105-Versões Discretas da Transformada de Laplace e da Função Gama
029-Somatórios Trigonométricos
A TDL e Aplicações nas Equações de Recorrência ( do blog FATOS MATEMÁTICOS )
Olá Aloisio. Não consegui ler as equações acima. No seu computador elas aparecem normalmente?
ResponderExcluirSim, Paulo, normalmente, pelo menos no Firefox.
ExcluirEu passei a usar o Chrome depois que eu tive aquele problema no blog. Os outros publicados eu consigo ler. Acabei de ver o post de número 108 e as equações aparecem normalmente.
ExcluirCom o novo editor que eu uso, as vezes algumas fórmulas não funciona. O que eu faço é usar o Latex Online e colocar a equação na forma de imagem.
Tudo bem, vou ler com calma este seu post na forma que está.
Muito bom o post Aloisio. Usou apenas ferramentas elementares para obter as identidades trigonométricas e em consequência as TDL's de sin(na) e cos(na). Eu usei a identidade de Euler para obter as TDL's.
ResponderExcluirObrigado, Paulo.
ExcluirNa referência [1] da bibliografia as fórmulas para sen(na) e cos(na) são usadas sem demonstração para as provas dos somatórios mistos.
Para completar meus conhecimentos, eu adoraria ver seu processo para as TDL's das funções trigonométricas.
Abraços.
Oi, Teixeira!
ResponderExcluirHá muito tempo não "encaro" integrais e somatórios "escabrosos" mas me parece que são do teu gosto. Tomo a liberdade de lhe sugerir um livro: "Fisica Matemática de Butkov" Era (ou é) um livro-texto para os alunos de Física da USP.(720 páginas)(Eugene Butkov)
Veja o índice:
Vetores,matrizes e Cordenadas - Funções de uma variável complexa -Equações diferenciais lineares de segunda ordem - Séries de Fourier -Transformada de Laplace - Teoria das distribuições - Transformadas de Fourier -Equações diferenciais parciais -Funções especiais - Espaços de dimensão finita -Espaços de dimensão infinita - Funções de Green - Métodos variacionais -Ondas, radiação, espalhamento - Métodos de perturbação - Tensores
Espero que goste (caso não o conheça) abçs
Oi, Tavano!
ExcluirGosto muito de somatórios por serem o "buraco de minhoca" da matemática, se é que me entende.
Obrigado pela indicação do livro, eu não o conhecia. Gostei dos tópicos. Verei se encontro em algum sebo.
Valeu!