Para o trabalho em vigor, revisaremos sobre função aritmética multiplicativa e função de Euler.
Função aritmética multiplicativa () é toda função com a seguinte propriedade: desde que , temos
Esta propriedade é muito útil para calcular a imagem de um número composto em uma quando a mesma é definida tendo por base a potência de um primo.
Exemplos de : número de divisores positivos de e soma dos divisores positivos de .
Exemplos de aplicação. Calcular o número de divisores positivos de . Resolução. Os divisores positivos da potência de um primo, ou seja, , são, , , , ...,; de forma que temos divisores. Logo, como , e sabendo que número de divisores positivos de define uma , temos
Exemplos de : número de divisores positivos de e soma dos divisores positivos de .
Exemplos de aplicação. Calcular o número de divisores positivos de . Resolução. Os divisores positivos da potência de um primo, ou seja, , são, , , , ...,; de forma que temos divisores. Logo, como , e sabendo que número de divisores positivos de define uma , temos
divisores
Exercício. Se é um primo, então é a soma dos divisores positivos da potência . Calcule a soma dos divisores positivos de .
Observação. As demonstrações de que e são estão no post 011.
Para finalizar a revisão, o teorema a seguir é válido para os inteiros positivos ,,,...,; onde cada um é primo com cada outro. Se é uma , então
Para finalizar a revisão, o teorema a seguir é válido para os inteiros positivos ,,,...,; onde cada um é primo com cada outro. Se é uma , então
Esta generalização é um corolário da própria definição de e demonstrado no post 011.
Dois números e são primos entre si quando seu único divisor positivo comum é . Em consequência, . Exemplos: e .
Função de Euler é a função aritmética que indica o número de inteiros positivos menores ou iguais a e que são primos com .
Por exemplo, os inteiros positivos menores que e que são primos com o mesmo são , , ,, , , , , , , e . Logo, .
Se é um primo, logicamente, , pois todos os inteiros positivos anteriores à são primos com . Temos, ainda, que , demonstrado no post 063 .
é uma função aritmética multiplicativa - demonstração no post 063 .
Exercício. Calcular .
Função de Euler é a função aritmética que indica o número de inteiros positivos menores ou iguais a e que são primos com .
Por exemplo, os inteiros positivos menores que e que são primos com o mesmo são , , ,, , , , , , , e . Logo, .
Se é um primo, logicamente, , pois todos os inteiros positivos anteriores à são primos com . Temos, ainda, que , demonstrado no post 063 .
é uma função aritmética multiplicativa - demonstração no post 063 .
Exercício. Calcular .
NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO CONDICIONAL POR DIVISORES
Utilizaremos a seguinte notação.
Significa o somatório das imagens dos divisores positivos de em uma função aritmética qualquer . Por exemplo,
Dados e , temos que é a soma dos cubos dos divisores de ;
Com e , temos que é a soma dos quadrados dos recíprocos dos divisores de .
Mas, se é um divisor positivo de , então também é. Logo, temos a equivalência
As funções aritméticas definidas por ( número de divisores positivos de ) e ( soma dos divisores positivos de ) são a seguir representadas com a notação de somatório condicional por divisores:
Uma função aritmética relacionada com este somatório especial é conhecida como produto de Dirichlet ( ou convolução de Dirichlet - ver sobre este matemático no post 092 ) definida como se segue.
Sejam e duas funções aritméticas. O produto de Dirichlet é a função aritmética
cujas propriedades serão estudadas em um futuro artigo.
Lema . Se é uma função aritmética multiplicatica, então a função aritmética definida por
também é multiplicativa.
Demonstração. Sejam e dois inteiros positivos onde . Como estes dois números não possuem fatores primos em comum, temos que qualquer divisor positivo do produto é o produto de um divisor de com um divisor de , de forma que . No que segue
Mas, por hipótese, é uma função aritmética multiplicativa, ou seja, . Portanto, designando os divisores de como , ,...,; temos
caracterizando como uma função aritmética multiplicativa.
TEOREMA DE GAUSS
Este teorema relaciona a função de Euler com o somatório condicional por divisores, ou seja
Para todo inteiro , temos
Como exemplo, seja . Seus divisores são , e ; e
= número de inteiros positivos menores ou iguais à e que são primos com ;
= número de inteiros positivos menores ou iguais à e que são primos com ;
= número de inteiros positivos menores ou iguais à e que são primos com ;
= número de inteiros positivos menores ou iguais à e que são primos com .
Assim, conforme o teorema de Gauss,
Demonstração. Para , temos . Suponhamos agora, .
Conforme o lema ,vejam que define uma função aritmética multiplicativa porque também define. Logo, se a decomposição de em fatores primos é , temos
Pelo primeiro quadro de revisão, vimos que os divisores de , com , são ,, ,...,. E, no segundo quadro, recordamos que .
Assim, analisando apenas um fator de , obtemos
Concluimos, então, que
o que queríamos demonstrar.
Referência bibliográfica.
Funções Aritméticas-Números Notáveis, Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .
Referência do blog para este artigo.
011-Funções Aritméticas Multiplicativas
063-Função de Euler
092-Disquisitiones Arithmeticae de Gauss
Gostará de ler também ( observação - para a maioria destes artigos, as fórmulas são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox ):
[001]Uma Equação Diofantina Especial
[004]Números Perfeitos
[005]A Combinação Linear ax+by
[006]Equação Diofantina Especial 2
[009]Congruências mod10, mod4 e Potências
[017]O Algoritmo de Euclides e a Representação Binomial do mdc(a,b)
Funções Aritméticas-Números Notáveis, Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .
Referência do blog para este artigo.
011-Funções Aritméticas Multiplicativas
063-Função de Euler
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[040]Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial
[097]Expoente de A Módulo M
[041]UTF-Demonstração de Caso Particular-II
[046]Critérios de Divisibilidade
[047]Teoremas de Euler e Fermat
[048]Fundamentos de Congruência Modular
[049]Equação de Congruência Linear
[050]Equação de Congruência Polinomial
[051]Teorema de Wilson-II
[055]Cálculo de Resto, sem Dividir
[056]O Enésimo Número Não-Divisível
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[051]Teorema de Wilson-II
[055]Cálculo de Resto, sem Dividir
[056]O Enésimo Número Não-Divisível
[073]Números de Fermat
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