Para o trabalho em vigor, revisaremos sobre função aritmética multiplicativa e função de Euler.
Função aritmética multiplicativa (
) é toda função
com a seguinte propriedade: desde que
, temos
Esta propriedade é muito útil para calcular a imagem de um número composto em uma
quando a mesma é definida tendo por base a potência de um primo.
Exemplos de
:
número de divisores positivos de
e
soma dos divisores positivos de
.
Exemplos de aplicação. Calcular o número de divisores positivos de
. Resolução. Os divisores positivos da potência de um primo, ou seja,
, são,
,
,
, ...,
; de forma que temos
divisores. Logo, como
,
e sabendo que
número de divisores positivos de
define uma
, temos
divisores
Exemplos de
Exemplos de aplicação. Calcular o número de divisores positivos de
Exercício. Se
é um primo, então
é a soma dos divisores positivos da potência
. Calcule a soma dos divisores positivos de
.
Observação. As demonstrações de que
e
são
estão no post 011.
Para finalizar a revisão, o teorema a seguir é válido para os inteiros positivos
,
,
,...,
; onde cada um é primo com cada outro. Se
é uma
, então
Para finalizar a revisão, o teorema a seguir é válido para os inteiros positivos
Esta generalização é um corolário da própria definição de
e demonstrado no post 011.
Dois números
e
são primos entre si quando seu único divisor positivo comum é
. Em consequência,
. Exemplos:
e
.
Função de Euler é a função aritmética
que indica o número de inteiros positivos menores ou iguais a
e que são primos com
.
Por exemplo, os inteiros positivos menores que
e que são primos com o mesmo são
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
e
. Logo,
.
Se
é um primo, logicamente,
, pois todos os inteiros positivos anteriores à
são primos com
. Temos, ainda, que
, demonstrado no post 063 .
é uma função aritmética multiplicativa - demonstração no post 063 .
Exercício. Calcular
.
Função de Euler é a função aritmética
Por exemplo, os inteiros positivos menores que
Se
Exercício. Calcular
NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO CONDICIONAL POR DIVISORES
Utilizaremos a seguinte notação.
Significa o somatório das imagens dos divisores positivos de
em uma função aritmética qualquer
. Por exemplo,
Dados
e
, temos que
é a soma dos cubos dos divisores de
;
Com
e
, temos que
é a soma dos quadrados dos recíprocos dos divisores de
.
Mas, se
é um divisor positivo de
, então
também é. Logo, temos a equivalência
As funções aritméticas definidas por
( número de divisores positivos de
) e
( soma dos divisores positivos de
) são a seguir representadas com a notação de somatório condicional por divisores:
Uma função aritmética relacionada com este somatório especial é conhecida como produto de Dirichlet
( ou convolução de Dirichlet - ver sobre este matemático no post 092 ) definida como se segue.
Sejam
e
duas funções aritméticas. O produto de Dirichlet é a função aritmética
cujas propriedades serão estudadas em um futuro artigo.
Lema
. Se
é uma função aritmética multiplicatica, então a função aritmética definida por
também é multiplicativa.
Demonstração. Sejam
e
dois inteiros positivos onde
. Como estes dois números não possuem fatores primos em comum, temos que qualquer divisor positivo
do produto
é o produto de um divisor
de
com um divisor
de
, de forma que
. No que segue
Mas, por hipótese,
é uma função aritmética multiplicativa, ou seja,
. Portanto, designando os divisores de
como
,
,...,
; temos
caracterizando
como uma função aritmética multiplicativa.
TEOREMA DE GAUSS
Este teorema relaciona a função
de Euler com o somatório condicional por divisores, ou seja
Para todo inteiro
, temos
Como exemplo, seja
. Seus divisores são
,
e
; e
Assim, conforme o teorema de Gauss,
Demonstração. Para
, temos
. Suponhamos agora,
.
Conforme o lema
,vejam que
define uma função aritmética multiplicativa porque
também define. Logo, se a decomposição de
em fatores primos é
, temos
Pelo primeiro quadro de revisão, vimos que os divisores de
, com
, são
,
,
,...,
. E, no segundo quadro, recordamos que
.
Assim, analisando apenas um fator de
, obtemos
Concluimos, então, que
o que queríamos demonstrar.
Referência bibliográfica.
Funções Aritméticas-Números Notáveis, Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,
.
Referência do blog para este artigo.
011-Funções Aritméticas Multiplicativas
063-Função de Euler
092-Disquisitiones Arithmeticae de Gauss
Gostará de ler também ( observação - para a maioria destes artigos, as fórmulas são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox ):
[001]Uma Equação Diofantina Especial
[004]Números Perfeitos
[005]A Combinação Linear ax+by
[006]Equação Diofantina Especial 2
[009]Congruências mod10, mod4 e Potências
[017]O Algoritmo de Euclides e a Representação Binomial do mdc(a,b)
Referência do blog para este artigo.
011-Funções Aritméticas Multiplicativas
063-Função de Euler
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[040]Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial
[097]Expoente de A Módulo M
[041]UTF-Demonstração de Caso Particular-II
[046]Critérios de Divisibilidade
[047]Teoremas de Euler e Fermat
[048]Fundamentos de Congruência Modular
[049]Equação de Congruência Linear
[050]Equação de Congruência Polinomial
[051]Teorema de Wilson-II
[055]Cálculo de Resto, sem Dividir
[056]O Enésimo Número Não-Divisível
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[073]Números de Fermat
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