117-Representações de um Inteiro Positivo como Somas de Inteiros Positivos Consecutivos

"O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento,
 pois aquele que a ignora não pode conhecer  as outras ciências
 ou as coisas deste mundo."

Roger Bacon 
 

O assunto do título é um dos mais interessantes em Teoria dos Números. Por certo, a maioria dos leitores aprendeu no ensino médio como somar, por exemplo, os números de ao .  O resultado desta soma é . No entanto, verifiquem que somar de ao também resulta em . As perguntas naturais que surgem na mente do leitor são as seguintes.

- Dado um inteiro positivo , de quantas maneiras podemos representá-lo como somas de inteiros positivos consecutivos? 

- Como obter estas somas?

- Existem números que não podem ser representados como soma de inteiros positivos consecutivos?


Estas questões serão esclarecidas nas seções seguintes.

1.FÓRMULA GERAL DO PRIMEIRO TERMO

Seja uma progressão aritmética  de razão e primeiro termo . Logo, seu enésimo termo é . Conforme a fórmula da soma dos primeiros termos  de uma e fazendo desta soma um inteiro positivo dado, temos

 

 

Reorganizando esta equação, obtemos

  (1)

Concluímos então que,  a primeira condição necessária para que seja uma soma de inteiros consecutivos é que o número de termos seja divisor do dobro da soma.

Reorganizando mais uma vez a nossa equação chegamos à

(2)

que é a fórmula do primeiro termo . A segunda condição é que seja inteiro e positivo e, para isto,  devemos  escolher convenientes divisores de , conforme seja par ou ímpar.


Observem que, em , é uma função decrescente de . Desde que , ao colocarmos de modo crescente estes divisores  na fórmula acima, reduzirá o seu valor, se anulará ( o que não queremos ) e se tornará negativo ( o que não queremos ). Mas, podemos obter uma cota real superior de se considerarmos a equação em

(3)

Logo os divisores de tais que nos garante que o primeiro termo seja .  Devemos então analisar estes divisores contidos no intervalo aberto e verificar quais deles deixa o primeiro termo inteiro na fórmula . 

Por intermédio das equações (1) , (2) e (3) estudaremos todos os casos de representações de um número natural como soma de números positivos consecutivos .

2.POTÊNCIAS DE DOIS

Se , com , então não pode ser representado como somas de inteiros positivos consecutivos. 

Demonstração. O número   não  pode ter a representação em questão por razões óbvias. Para , vejamos.

Se for uma potência de dois, ou seja, se , com natural maior que , então os divisores que interessam de são da forma , com ( descartamos o divisor tendo em vista que, se este número é igual ao número de termos consecutivos, então tem que ser maior que um ) . Inserindo na fórmula , temos

Observem que se então é inteiro mas não é. Logo, neste caso, não é inteiro.

E se , então, tendo em vista que, no mínimo , temos  e . Logo também não é inteiro por ser fracionário e/ou negativo.

3.NÚMEROS PRIMOS

Se for primo ímpar, então tem uma única representação como somas de inteiros positivos consecutivos.

Demonstração.  Conforme vimos, pela equação , o número de termos tem que ser divisor do dobro da soma. Ora, sendo primo ímpar, os únicos divisores de são , , e .  Veremos agora cada divisor no cálculo do primeiro termo .

Para não consideramos pois não se pode falar de soma consecutiva com apenas um termo;

Para , temos , onde é um inteiro positivo
 

Para , temos , pois é um primo ímpar;


Para , temos que não é inteiro e nem positivo.


Concluímos então que o único caso em que o primeiro termo é um inteiro positivo é quando o número de termos é sendo esta a única forma em que o primo ímpar pode ser representado como soma de números positivos consecutivos.

Exemplo. Colocar como soma de inteiros positivos consecutivos.

Pegamos então que é divisor do dobro da soma . Calculando o primeiro termo com nossa fórmula , temos . Assim .

4.NÚMEROS ÍMPARES

Excetuando-se os números primos, todo número ímpar tem, no mínimo, duas formas de representação como soma de números inteiros consecutivos. 

Demonstração. Seja um número ímpar qualquer, com primo ímpar e é o produto de potências de primos ímpares maiores que .  Considere o divisor de , número de termos da soma conforme a equação já vista .

Para , temos , onde é um inteiro positivo.

Logo, qualquer número ímpar, composto ou primo, possui esta forma trivial de representação como soma dos números positivos consecutivos . Exemplos: e .

Vejamos agora que, ao contrário dos números primos,  para um número ímpar composto esta forma de representação não é única.

De fato, pois para o número de termos , temos como primeiro termo que é inteiro positivo porque no mínimo , para .

Para as outras formas de somas, os divisores de necessitam estar enquadrados no intervalo , sendo a cota real superior.

Exemplo. Colocar como somas de inteiros positivos consecutivos.

A cota real superior é . Assim os números de termos das somas são divisores de maiores que e menores que , ou seja, .

Calculando o primeiro termo de cada soma com a fórmula , temos

  e

 

  e

 

e

 

  e

  e

 

e

e

  

TEOREMA DE SEBÁ

Se um natural ímpar só puder ser expresso como soma de dois naturais consecutivos, então, esse natural é um primo.  

 Este teorema é justificado nas seções e .

5.NÚMEROS PARES

Excetuando-se as potências de dois, alguns números pares podem ser representados por uma  ou mais somas de no mínimo três inteiros positivos consecutivos.

Demonstração. Observem de imediato que, se é par, então em , temos que o número de termos (divisor de ) é obrigatório ser ímpar, pois é a única forma de ser inteiro. 

Logo, para calcular os primeiros termos das somas de , temos que analisar apenas os divisores   ímpares do número par tais que . 

Exemplo. O primeiro par que não é potência de dois é .  A cota superior real é . Os divisores ímpares de tais que  é unicamente . 

Calculando o primeiro termo . Assim .

Exercício. Calcular todas as formas de representação de como soma de números positivos consecutivos.

 

_*_

Referência na net: 

http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=151


Imagem: http://www.puzzleclopedia.com/division-exacta/