DEDICATÓRIA
Dedico esse post a União dos Blogs de Matemática ( ), http://ubmatematica.blogspot.com/, do qual agora sou filiado. Da iniciativa do professor Paulo Sérgio e Kleber Kilhian, a prima pela excelência e seriedade, levando aos amantes da matemática uma riqueza de conhecimentos condensados. Eu diria que, se a tivesse um patrono, sem dúvidas seria o frade Minimita Marin Mersenne ( ), um grande difusor de matemática da época.
INTEGRAL NATURAL E SOMATÓRIOS
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O método de soma exposto a seguir desenvolvi em , quando tinha anos. Somente há poucos anos vi algo parecido no livro "Manual de Sequências e Séries - Volume I", Rio de Janeiro, , de Luís Lopes, pela Editora QED TEXTE, onde o autor chama a operação de DIFERENÇA FINITA.
No artigo anterior, nós vimos o conceito de derivada natural aplicável a uma sequência qualquer.
Se temos uma sequência definida por , sua derivada N será definida por
Em contrapartida, se acharmos uma função tal que , então é a INTEGRAL NATURAL ou integral N de . Simbolizo por . Assim,
tal que
A variação de nos limites e , onde e são inteiros positivos com , será representada por
Como a integral N limitada se relaciona com o somatório ? É o que veremos a seguir.
TEOREMA:
Demonstração: Se existir uma sequência definida por tal que então poderemos somar os termos de a como se segue:
já que todas as parcelas se anulam com exceção da primeira e da última.
Mas, por definição, e, portanto,
Aplicação 1: Achar a soma de uma progressão geométrica de termo genérico sendo a razão .
Solução: multiplicando por obtemos
Veja que fica no formato com
Portanto,
Aplicação 2: Achar a soma dos n primeiros termos da sequência definida por
, com
Solução: Observem que é um polinômio de grau . Para facilitar a soma, teremos que colocar o termo genérico no formato
E isso já aprendemos no post anterior "Progressão Aritmética de ordem Superior".
Aprendemos também que a derivada N de é:
Aprendemos também que a derivada N de é:
Assim, por indução inversa, concluímos que
Logo,
Assim,
Exemplo. Suponha que . Pelo triângulo das variações ( ver post anterior ) achamos rapidamente os coeficientes . Se o grau da função polinomial é calculamos os primeiros termos desta função:
, , , e
-11 -30 -59 -68 -3
-19 -29 -9 65
-10 20 74
30 54
24
Pegamos, então, os coeficientes na diagonal da esquerda:
, , , e
Portanto,
Ou, se preferirem, usando a notação de combinação , temos
Em um futuro post, mostrarei como achar a soma dos primeiros termos de usando a integral N. / N.E: Veja esta matéria em Somatórios Trigonométricos