segunda-feira, 16 de janeiro de 2012

007-Representação de potências por combinações


Considere  e  .
 representa a combinação de  elementos tomados  a .

O valor desta combinação é determinado por



TEOREMA 1

, com  e 


 Vamos ver uma aplicação prática. Queremos saber a soma  dos  primeiros termos de  .
Lembrando que ,  basta fazer  .

Verifica-se, então, a grande habilidade computacional que teríamos se colocássemos a função aritmética potencial  no formato de somas algébricas de combinações do tipo  , com .

E, para isso, precisamos de uma ferramenta para estabelecer a seguinte igualdade:

 

O resultado a seguir será extremamente útil. Em 2011, descobri que  



TEOREMA 2




Exemplo: 


Veremos agora  como podemos utilizar esta ferramenta para calcular rapidamente a soma dos  termos da sequência definida por  , analisando alguns casos.


 
 CASO 1

                                                   

Resolução

 




 
CASO 2




Resolução

  







CASO  3 

 









 TEOREMA 1

, com  e 





Demonstração: vamos usar a relação de Stiffel que expressa a seguinte identidade: 
 
 que é equivalente a



Da relação  temos



Portanto, fazendo  segue que , logo


pois , tendo  em vista que  e  para .

mas , assim

, com  e 



DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2


Demonstração: novamente, pela relação de Stifell:


Fazendo  e , a relação fica




Multiplicando ambos os membros por :


 


Logo,


A demonstração a seguir que consta nos comentários é de autoria do professor Paulo Sérgio do blog FATOS MATEMÁTICOS.






Fonte inspiradora:  A Música dos Números, de José Roberto de Oliveira, Editora SCOR TECCI, 2006.

12 comentários:

  1. Muito bom o post, principalmente a expressão de recorrência envolvendo coeficientes binomiais. Uma dica, para escrever um coeficiente binomial na forma padrão use este comando do latex {n \choose k}.

    ResponderExcluir
  2. Outra prova de sua identidade é em sua notação é dada por:

    p(n,p) + (p+1)(n,p+1) = pn!/[p!(n-p)!] + (p+1)n!/[(p+1)!(n-p-1)!]

    = n!/[(p-1)!(n-p)!] + n!/[p!(n - p - 1)!] = [pn! + (n - p)n!]/[p!(n-p)!]

    = n(n,p)

    ResponderExcluir
  3. Essa expressão em latex eu não conhecia. Vou guardar na manga. Vejo que a sua demonstração é mais econômica.Obrigado pelas sugestões.

    ResponderExcluir
  4. Olá, Alísio Teixeira!!!!

    Rapaz, que postagem massa!!!! Você é muito criativo e capaz!!!! Mais tarde e não demorando muito, creio que veremos por aí, nas melhores livrarias do Brasil, pelo menos, um livro cheio dessas sua invenções e/ou demonstrações do cálculo com a assinatura sua!!!!

    Tudo de bom e por favor, continue assim, pois você fazia falta aqui na blogosfera, defendendo essas ideias e fazendo essas demonstrações muito legais!!!

    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Oi, Valdir!

      Obrigado por todas as suas considerações!

      Acredito que assim como a selva Amazônica existe o rémedio natural para todas as doenças, o Triângulo de Pascal tem a respostas para todos os problemas algébricos, inclusive o UTF.

      Valeu, amigo!

      Excluir
  5. Oi Teixeira! Desculpe o atraso, só agora atentei para a expressão acima para n^p, eu me lembrava de ter chegado a um resultado parecido só não tive a brilhante ideia de usá-lo em somatório. Sinto dificuldade em expressá-lo mas é mais ou menos assim: Preciso definir P(n,p). vou começar com P(2,p)=2^p - 2X(1^p) + 0^p, P(3,p)=3^p-3x(2^p)+3X(1^p)-0^p é tudo como se fosse (1-p)^n pelo binômio de Newton mas não escrevo p^2 ou p^3 ou p^4 mas sim 2^p, 3^p e 4^p, então P(n,p)=(1-p)^n com todas as potências de p "invertidas". Bom, acima você escreveu n^4=(n,1)+ 14(n,2) + 36(n,3) + 24(n,4). me assustei mas essa expressão equivale a n^4=P(1,4)(n,1) + P(2,4)(n,2)+P(3,4)(n,3) + P(4,4)(n,4). Se você tiver energia para pesquisar P(n,p) será interessante. Acho que já estou meio velho. Cheguei a resultados incríveis:1) A probabilidade de se encher um álbum de n figurinhas se compro p=P(n,p)/n^p. 2) P(n,n)=n! 3) usando o resultado anterior calculei raiz de pi com oito casas 4) Não estou bem certo mas já calculei zeta(0) e zeta(-1) e bateu com os valores verdadeiros, essa função zeta é a de Riemann dos problemas do milênio. Acho que me entusiasmei desculpe. Abçs

    ResponderExcluir
  6. Oi, Tavano! Anotei seus cálculos para depois ver com calma, ok? Depois te retorno. Obrigado!

    ResponderExcluir
  7. Incrível, Tavano! Sua expressão P(k,p) fornece os coeficientes de qualquer representação algébrica de n^p... Ou, seja, a habilidade computacional a que me referi no post, dobrou de velocidade, porque não é mais necessário usar a recorrência, basta calcular os coeficientes diretamente!

    Eu ainda não consegui vislumbrar a demonstração disso e nem como utilizou para o pi e a função zeta. É claro que uma caixa de comentários de um blog é inadequado para um desdobramento deste assunto. Se puder mandar por e-mail, seu processo será assunto central e único do meu próximo post.

    ResponderExcluir
  8. Oi Teixeira! Agora me empolguei, me segura! Antes de mais nada uma correção: eu disse que P(n,p) é parecido com (1-p)^n, acho que seria (p-1)^n (1-p) eu estava usando na função zeta. Usando P(n,p), ontem, calculei zeta(-3)=1/120 e novamente bateu. Note que zeta(-3) não dá para calcular usando a fórmula de zeta mais conhecida, já me desviei, Tenho um livro chamado "Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas" de Murray R. Spiegel. Esse livro tem desde a área do quadrado até equações diferenciais, transformadas de Laplace etc.,e cada assunto é tratado em pormenores. Pois bem, para somatório de potências ele dá n, n^2, n^3, e n^4, tem uma fórmula geral para n^p, mas é baseada em números de Bernoulli que em geral são tabelados. O livro é do século XX, quando ainda não era conhecida a fórmula de Teixeira-Tavano ou TT para somatório de potências KKKK. Eu tenho que dar um jeito de te mandar tudo que sei sobre P(n,p) as demonstrações são do tipo intuitivas como a do Prof Paulo para (1/2)! Até....Abrçs

    ResponderExcluir
  9. É, Tavano, peça sua empolgação eu diria que a matemática está em seu sangue! Em nosso, Aliás.

    Por várias vezes vi esse livro e não compre-o porque achei que fosse algo superficial. No entanto vejo que pode ser uma excelente fonte inspiradora devido a abrangência de assuntos. Mas em pouco tempo no meu ítem LIVROS (MENU) você verá ele, pois vou adquirí-lo.

    Aguardo ansiosamente seus valiosos apontamentos.

    Obrigado!

    ResponderExcluir
  10. Sou sobrinha do José Roberto de Oliveira, ele faleceu dia 21/05.
    Fiquei muito feliz em vê-lo citado!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Oi, Erica.

      Sinto pela perda.

      Conheci apenas um livro do seu tio e fiquei admirado pela profundidade e ousadia de suas idéias.

      Um abraço de condolências.

      Excluir