Considere , , e todos , com .
Recordem que o máximo divisor comum ( MDC ) de e , simbolizado por , é o maior dos divisores comuns de e .
Ex: e
Os divisores comuns de e são e o maior deles é . Logo,
.
O que proponho é o seguinte.
DEMONSTRAR que a combinação é sempre múltiplo inteiro de .
Ou, em outras palavras, se , mostrar que , para .
Demonstração: Seja o conjunto que contêm todos os valores não-negativos de , ou seja, onde .
para e ;
para e ;
para e .
é o primeiro elemento positivo de , portanto, existem e , tal que
Se dividirmos F por f podemos ter um quociente e um resto .
Assim,
O próximo passo agora é mostrar que o resto também . Vejamos,
, mas e e substituindo estes valores no primeiro,
Desta forma, existem e onde e conclui-se que .
No entanto e, por hipótese, é o primeiro elemento positivo de . Logo, .
O fato de nos traz três importantes consequências:
1ª - Qualquer elemento de é múltiplo do primeiro elemento positivo porque ;
2ª - Como e , eles também são múltiplos de o que é a mesma coisa em dizer que é um divisor comum de de e ;
3ª - Seja qualquer outro divisor comum de de e . Por
concuímos que divide e assim, , ou seja, é maior que todos os outros divisores comuns.
Portanto, e
Para os valores de a prova é trivial. Basta considerar o módulo de .
Logo, , para .
Fonte: Teoria dos Números, de
Salahoddin Shokranian,
Marcus Soares,
Hemar Godinho;
Editora UNB, 1998.
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