quinta-feira, 12 de janeiro de 2012

004-Números Perfeitos


 
 Seja [;n>1;] um número natural e considere [;s(n);] a soma dos divisores positivos [;d<n;] do mesmo.
Se [;n=p;]  primo, então [;s(p)=1;]  porque o único divisor [;d<p;] é [;1;] .
De modo geral, dado um  [;n>1;] qualquer, três possibilidades podem ocorrer:

1) [;s(n)>n;] e [;n;] é chamado de número abundante;
     Ex: [;s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12;] 

2) [;s(n)=n;]  e [;n;] é chamado de NÚMERO PERFEITO;
      Ex: [;s(6)=1+2+3=6;] 

3) [;s(n)<n;] e [;n;]é chamado de número deficiente.
      Como foi visto acima, todo número primo é um número deficiente: [;s(p)=1<p;]  mas existem  números compostos que são deficientes, como por exemplo 
        [;s(8)=1+2+4=7<8;] 

Vamos nos concentrar agora nos números perfeitos que são os objetos deste estudo.

Os números perfeitos são extremamente raros. Só para terem uma idéia, o primeiro número perfeito é [;6;], o segundo é [;28;], o terceiro já pula para [;496;], o quarto alça vôo para [;8128;] e o quinto está na casa dos milhões! Hoje em dia se conhece pouco mais que [;27;] números perfeitos e todos são pares. Mesmo porque não se sabe se número perfeito ímpar exista...

Realmente, essa é uma bela parte da Teoria dos Números. E antiga também.

Euclides de Alexandria ( 300 A.C. ) foi o primeiro a dar um tratamento formal sobre o assunto. Ele desconfiou que os números perfeitos tem algo a haver com a potência de [;2;]. E é dele o processo de achar números perfeitos pares. Então porque se conhecem pouco mais que [;27;]? É porque, na verdade, o processo depende de se achar também um número primo muito grande. 
Mas vamos a teoria. Para acharmos números perfeitos teremos que estudar  a seguinte função aritmética:

[;S(n)=;] soma de todos os divisores positivos de [;n;]

Por exemplo [;S(12)=1+2+3+4+6+12=28;] 

Observem que [;s(n);] e [;S(n);] são irmãs porque uma depende da outra:
[;S(n) = s(n) + n;] 
Para [;p;] primo, temos [;S(p)=1+p;] 

É interessante o cálculo de [;S(n);]  quando [;n;]  é uma potência de um primo. Os divisores da potência [;n=p^a;] com [;p;] primo e [;a\geq1;] são [;1;],[;p;],[;p^2;],[;p^3;],...,[;p^{a-2};],[;p^{a-1};] e [;p^a;]. Ora, isso são os [;a+1;] termos de uma PG de primeiro termo [;1;] e razão [;p;]. Portanto,

[;S(p^a) = 1 + p + p^2 + p^3 + ...+p^{a-2} + p^{a-1} + p^a = \frac{p^{a+1}-1}{p-1};] 

A função aritmética [;S(n);] tem uma propriedade muito importante que diz que se [;n_1;],[;n_2;],...,[;n_i;] são todos primos entre si, dois a dois ( ou seja, cada um não tem fatores primos comuns com qualquer outro considerado nessa seleção ), então

[;S(n_1.n_2....n_i) = S(n_1).S(n_2)...(Sn_i);] 
E isso é ideal para calcularmos a soma dos divisores de um número [;n;] qualquer. Basta fatorá-lo. Se queremos saber a soma dos divisores de [;n=6804=2^2.3^5.7;],  já que cada primo de um fator não aparece nos outros fatores, usamos essa propriedade:
                                                                                                            
[;S(6804)=S(2^2.3^5.7)=S(2^2)S(3^5)S(7);][;=\frac{2^3-1}{2-1};][;.\frac{3^6-1}{3-1};][;.\frac{7^2-1}{7-1}=20384;] 

Euclides observou que é mais fácil achar números perfeitos pares do que ímpares. Temendo que os perfeitos ímpares não existissem, passou a investigar os números da forma [;n=2r;] que possam ser perfeitos. Existindo a possibilidade de [;r;] ainda ser par, ele reescreveu na forma [;n=2^s.m;], com [;s=1,2,3,...;]de forma que [;m;] não contenha nenhum fator [;2;], o que é a mesma coisa em dizer que, por hipótese,  [;m;] é ímpar. Depois, para arredondamento de cálculos algébricos, sentiu-se a necessidade de substituir [;s;] por [;k-1;] com [;k=2,3,4,...;]. Portanto, foram sondados os números pares da forma [;n=2^{k-1}.m;].

Se [;n;] for perfeito, qual é a natureza do misterioso número ímpar [;m;] ? É isso que vamos investigar agora.

Como [;2^{k-1};][;m;] não tem fatores primos em comum, temos

[;S(n)=S(2^{k-1}.m)=S(2^{k-1})S(m)=\frac{2^k-1}{2-1}.S(m)=(2^k-1).S(m);]       (     1   )

Mas, sendo [;n;] perfeito [;s(n)=n;] e como 

[;S(n) = s(n) + n \rightarrow S(n) = n + n = 2n = 2.(2^{k-1}.m)=2^k.m;]   (    2   )

Igualando os resultados (  1  ) e (   2  ):

[;(2^k-1).S(m) = 2^k.m \rightarrow S(m)=\frac{2^k.m}{2^k-1};]                                            (   3  )

Nesse contexto, percebe-se que, como [;m;]  e [;2^k-1;] são ímpares, então o primeiro é divisível pelo segundo. Seja [;q;] o resultado desta divisão. Assim, [;m=(2^k-1)q;]. Substituindo em (   3   ):

[;S(m)=\frac{2^k.m}{2^k-1};][;=\frac{2^k.(2^k-1)q}{2^k-1}=2^k.q;][;=(2^k-1+1)q=(2^k-1)q+q=m+q;] 

[;S(m)=m+q;]                                                                                      

Te tudo, tiramos o seguinte:

1ª - [;S(m);]  é a soma de TODOS os divisores do número ímpar [;m;];
2ª -  Sabemos que [;m;] é divisor de [;m;];
3ª - De  [;m=(2^k-1)q;], concluímos que [;q;] é também divisor de [;m;];
4ª - Nosso último resultado diz que [;S(m)=m+q;] e, portanto, [;m;] possui apenas [;2;] divisores;
5ª - Conclusão: [;m;]  é primo! e seus divisores são [;m;] e [;q=1;] [;\rightarrow;] [;m=(2^k-1)q=2^k-1;]

Logo, [;n=2^{k-1}.m;]será perfeito toda vez que [;m=2^k-1;]for um número primo.

E a forma geral dos número perfeitos pares fica:

[;n=2^{k-1}(2^k-1);],                      com [;2^k-1;] primo


Verifica-se que [;2^k-1;] é primo para [;k=2,3,5,7,13,17,19;] o que, aplicados em [;n=2^{k-1}(2^k-1);], nos fornece os [;7;] primeiros números perfeitos:

[;6;], [;28;], [;496;], [;8128;]; [;33550336;], [;8589869056;], [;137438691328;].




Fonte: - Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
           - Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1967
           - História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, 1974.

2 comentários:

  1. Olá Aloisio, o seu blog começou muito bem com muitos assuntos interessantes.Gosto de Teoria dos Números e de vez em quando eu publico alguns assuntos também. Tenho algumas dicas para o seu blog, por exemplo, use a fonte Verdana ao invés de Times New Roman, pois ela é mais arrendondada e facilita a leitura. Outra dica também é criar uma lista de blogs e colocá-la no canto direito do seu blog. No meu, ela está com o título de Blogs interessantes e bom desta lista que você pode fazer parcerias links. Outra dica é classificar os posts com marcadores, tais como: Álgebra Elementar, Teoria dos Números, Matemática Discreta, Cálculo, etc.

    Devido a qualidade dos seus posts, passei a ser um seguidor também.

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  2. Oi, Prof, obrigado pelas dicas. Elas vinheram em boa hora. Agora que stou começando a explorar os recursos do blog. Em relação aos marcadores, utilizarei quando tiver assuntos mais diferenciados. Valeu!

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