Dados
e o polinômio
de grau
, considere a função aritmética
definida por
. Neste post, desenvolveremos uma técnica recursiva para obter o somatório
Neste caso, os conceitos de derivada
( derivada natural ou diferença finita ) e integral
( integral natural ) serão úteis.
Derivada
de uma função aritmética definida por
é a nova função aritmética definida por
ou
![\rfloor \lceil_a^b f(n)=[F(n)]_a^b=F(b)-F(a) [;\rfloor \lceil_a^b f(n)=[F(n)]_a^b=F(b)-F(a);]](http://thewe.net/tex/%5Crfloor%20%5Clceil_a%5Eb%20f%28n%29=[F%28n%29]_a%5Eb=F%28b%29-F%28a%29)
![\rfloor \lceil \Delta P=P [;\rfloor \lceil \Delta P=P;]](http://thewe.net/tex/%5Crfloor%20%5Clceil%20%5CDelta%20P=P)
=
.Substituindo este resultado acima, resulta o que queremos:
DERIVADA
Derivada
Obs
Por comodidade tratarei, indistintamente, função e lei de definição de função. Observem que já utilizo de modo indistinto a variável
do somatório e a variável
da função aritmética. E para quem já estudou integral indefinida, digo que na definição de integral
, a constante de integração
também existe. No entanto, para este artigo, não achei necessário torná-la "visível". Essas pequenas imprecisões conceituais não chegam a atrapalhar os resultados práticos finais e podem até passar despercebidas.
O que nos interessa agora é a derivada
de
e algo sobre a derivada
de
.
Derivada
de ![g(n)=A^n [;g(n)=A^n;]](http://thewe.net/tex/g%28n%29=A%5En)
Derivada
de
É notório que as operações algébricas envolvendo monômios de maiores graus ocorrerão em
. É esta parcela que definirá o grau de
. Pelo binômio de Newton,
=
, onde
é um polinômio de grau
. Assim, se
tem grau
,
tem grau
. Esta é a chave para a técnica recursiva para o somatório
.
INTEGRAL ![N [;N;]](http://thewe.net/tex/N)
Integral
é inverso conceitual da derivada
. Dada a função aritmética
, desta vez procuramos uma função aritmética
tal que
A integral
de
é
. Simbolicamente,
A variação de
nos limites ( inteiros positivos )
e
, com
, é representada por
Integral
de ![g(n)=A^n [;g(n)=A^n;]](http://thewe.net/tex/g%28n%29=A%5En)
De fato, pois sendo
, temos
Integral
de
O que nos importa, no momento, é induzir o grau de
. Conforme vimos acima, se
tem grau
, então
tem grau
. Podemos então dizer que
O que se conclui que
, por sua vez, tem grau
.
RELAÇÃO ENTRE SOMATÓRIO E INTEGRAL
Demonstração: seja
. Assim,
. Mas
INTEGRAÇÃO
POR PARTES
Sejam as funções aritméticas
,
e
relacionadas como se segue
Considerem, também suas respectivas derivadas
:
Mas,
Agora, integrando naturalmente ambos os membros, temos
Esta é a expressão da INTEGRAÇÃO NATURAL POR PARTES.
APLICAÇÃO
Para calcular recursivamente o somatório
, basta fazer
,
e
. Assim,
Substituindo na expressão da integral,
onde, colocando as constantes para fora do sinal de integração e reduzindo os termos semelhantes do segundo membro, obtemos a expressão final:
EXEMPLO 1
Calcular
Este é o mais simples exemplo de somatório misto exponencial-polinomial.
Resolução
Com
, temos
. Aplicando na fórmula,
Assim,
EXEMPLO 2
Em
Calcular
.
Resolução
Aqui temos,
Inserindo na fórmula de integral mista
Por sua vez
( 2 )
Na sua vez
![4 \rfloor \lceil 5^nP_2(n)=5^n(6n)-5 \rfloor \lceil 5^n.6 \Rightarrow [;4 \rfloor \lceil 5^nP_2(n)=5^n(6n)-5 \rfloor \lceil 5^n.6 \Rightarrow;]](http://thewe.net/tex/4%20%5Crfloor%20%5Clceil%205%5EnP_2%28n%29=5%5En%286n%29-5%20%5Crfloor%20%5Clceil%205%5En.6%20%5CRightarrow)
![4 \rfloor \lceil 5^n P_2(n)=6.5^nn-30\frac{5^n}{4} \Right [;4 \rfloor \lceil 5^n P_2(n)=6.5^nn-30\frac{5^n}{4} \Right;]](http://thewe.net/tex/4%20%5Crfloor%20%5Clceil%205%5En%20P_2%28n%29=6.5%5Enn-30%5Cfrac%7B5%5En%7D%7B4%7D%20%5CRight)
![\rfloor \lceil 5^nP_2(n)=5^n \left( \frac{3}{2}n-\frac{15}{8} \right) [;\rfloor \lceil 5^nP_2(n)=5^n \left( \frac{3}{2}n-\frac{15}{8} \right);]](http://thewe.net/tex/%5Crfloor%20%5Clceil%205%5EnP_2%28n%29=5%5En%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dn-%5Cfrac%7B15%7D%7B8%7D%20%5Cright%29)
Na sua vez
Substituindo este resultado em ( 2 ), temos
Substituindo este resultado em ( 1 ), temos
Portanto, ![\sum_{n=1}^{n}[5^n(n^3-3n^2+7n-8)]=[\frac{5^n}{160}(40n^3-270n^2+805n-1470)]_1^{n+1} [;\sum_{n=1}^{n}[5^n(n^3-3n^2+7n-8)]=[\frac{5^n}{160}(40n^3-270n^2+805n-1470)]_1^{n+1};]](http://thewe.net/tex/%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7Bn%7D[5%5En%28n%5E3-3n%5E2+7n-8%29]=[%5Cfrac%7B5%5En%7D%7B160%7D%2840n%5E3-270n%5E2+805n-1470%29]_1%5E%7Bn+1%7D)
Imagem: http://www.facebook.com/Somatorio
Eu tinha visto isso num livro antigo durante minha graduação e nunca mais ouvi falar. Muito útil em certas situações essa técnica. Parabéns pelo post.
ResponderExcluirai cara estive estudando essas somas e consegui obter os mesmos resultados que você só que com métodos e um notação diferente também. consegui formulas quase idênticas as que são apresentadas neste blog no que se refere as somas infinitas dessas series mistas.
ResponderExcluirencontrei formulas para as series alternadas e as somas onde os termos estão elevados a qualquer potencia, mas não encontrei aqui no blog, seria muito bom ver alguma coisa a respeito disso caso vc tenha as encontrado também.