Na maior parte das ciências, uma
geração põe abaixo
o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu
a
outra desfaz. Somente na Matemática é que
cada geração constrói um novo
andar sobre a
antiga estrutura. (Hermann Hankel)
é o preenchimento de elementos, tomados elementos
O leitor e colaborador matemático Antonio Carlos Tavano, de São Paulo-SP, em suas pesquisas em Análise Combinatória, se deparou com a seguinte função nas variáveis e , com .
= número de sequências de termos que, em cada uma delas, haja todos os elementos de um conjunto de elementos.
Exemplo 1: considere a sequência de termos.
Neste caso, é o número de sequências do tipo , com termos em que haja todos os elementos do conjunto com elementos.
Algumas destas sequências: ,,, etc em um total de .
Observem que não é o de anagramas de porque o número de repetições de cada termo pode se alterar. É claro que também não é a combinação de elementos tomados a .
Nas palavras do próprio Tavano,
é o preenchimento de elementos, tomados elementos
De forma que
Exemplo 2: Calcular . Temos , assim
Exemplo 3: Calcular . Temos , logo . Notem que e , por definição, não fazem parte da contagem, pois apenas um elemento aparece.
Exemplo 4: Calcular . Temos . . Reparem que ,,,,, etc, não pertencem a este conjunto, pois nenhuma destas sequências têm elementos diferentes.
Valores iniciais com fixo.
De forma que
Antes da demonstração desta fórmula, veremos uma aplicação.
Somatórios de potências: Levando em consideração que , no post Representação de Potências por Combinações, mostrei a vantagem em transformar em uma soma de múltiplos de combinações do tipo , tendo em vista a grande facilidade para somatórios, conforme os seguintes exemplos:
Naquele artigo, o método que utilizei para achar os coeficientes combinativos de
Somatórios de potências: Levando em consideração que , no post Representação de Potências por Combinações, mostrei a vantagem em transformar em uma soma de múltiplos de combinações do tipo , tendo em vista a grande facilidade para somatórios, conforme os seguintes exemplos:
Naquele artigo, o método que utilizei para achar os coeficientes combinativos de
foi um processo recursivo onde utilizei a relação .
Mas em , Tavano observou que
Assim, os coeficientes combinativos de são calculados diretamente pela função :
Alguns exemplos destes coeficientes:
1
|
|||||||||
1
|
2
|
||||||||
1
|
6
|
6
|
|||||||
1
|
14
|
36
|
24
|
||||||
1
|
30
|
150
|
240
|
120
|
|||||
1
|
62
|
540
|
1560
|
1800
|
720
|
||||
1
|
126
|
1806
|
8400
|
16800
|
15120
|
5040
|
|||
1
|
254
|
5796
|
40824
|
126000
|
191520
|
141120
|
40320
|
||
1
|
510
|
18150
|
186480
|
834120
|
1905120
|
2328480
|
1451520
|
362880
|
|
............................................................................................................................ETC
Os leitores ficam convidados para acharem uma relação de formação entre as células deste triângulo aritmético.
Vamos, agora, a demonstração da fórmula do preenchimento de elementos, tomados elementos, e em seguida, veremos o porque da relação dos valores desta função com os coeficientes combinativos de .
Teorema: Dados os inteiros não-negativos , se = número de sequências de termos que, em cada uma delas, haja todos os elementos de um conjunto de elementos, então
Demonstração: Considere os seguintes conjuntos
Conjunto com elementos ;
Conjunto formado por sequências de termos onde cada sequência é formada por um, alguns ou todos elementos de . Como os elementos se repetirão, as vezes, para "preencherem" estas sequências. Como para cada termo de uma sequência do conjunto temos possibilidades, então é o número de elementos do conjunto ;
Conjunto formado por sequências de termos onde cada sequência é formada por todos os elementos de . Para cada grupo de elementos da combinação de elementos de , vamos ter uma formação ( preenchimento) de natureza diferente na sequência de termos. Assim, .
É claro que . Assim, para , temos
...
Portanto,
Demonstração: Considere os seguintes conjuntos
Conjunto com elementos ;
Conjunto formado por sequências de termos onde cada sequência é formada por um, alguns ou todos elementos de . Como os elementos se repetirão, as vezes, para "preencherem" estas sequências. Como para cada termo de uma sequência do conjunto temos possibilidades, então é o número de elementos do conjunto ;
Conjunto formado por sequências de termos onde cada sequência é formada por todos os elementos de . Para cada grupo de elementos da combinação de elementos de , vamos ter uma formação ( preenchimento) de natureza diferente na sequência de termos. Assim, .
É claro que . Assim, para , temos
...
Portanto,
Com o último resultado, temos uma fórmula recursiva para , com .Veja:
etc
Para vizualizármos uma fórmula não-recursiva, é vantajoso colocar os valores iniciais de no seguinte formato:
Notamos que os coeficientes de são os
mesmos de e escrevemos . Será que
? De fato. Vamos provar por indução. Está
claro que para , e vale a afirmação, Suponhamos que valha
para todo . Vamos provar que vale para . De fato,
. Como, por hipótes, o teorema vale para todo então para todo . Seja o polinômio.
. Fica claro que . Na igualdade acima que
define , vamos somar à ambos os membro e daí obtemos
, donde e como tem
os coeficientes de então tem os coeficientes de e,
portanto, . E, da equivalência , temos
_*_
_*_
Coeficientes combinativos: seja a igualdade
(1)
comparada com
(2)
Nesta última, foi estipulado que . Porque? Se é impossível preencher uma sequência de termos onde todos os elementos apareçam. Logo, se , .
Na fórmula (2), admitindo válida para qualquer , eliminaremos as parcelas em que . Desta forma, temos
(3)
Comparando (3) com (1), concluímos que , com
Exemplo: fornecer uma fórmula combinativa para
Resolução: temos que achar os coeficientes de
Usando a fórmula , temos
que são os números da linha do triângulo dos coeficientes combinativos.
Assim,
e
Para saber mais: http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
Oi Teixeira! Ficou ótimo! Mas acho que o título deveria ser algo como: "Fórmula Geral para Somatório de Potências" com subtítulo "Sum of Power (closed form)" os P(n;p) são coadjuvantes. Salvo melhor juízo, essa é a formula mais simples que encontrei na WEB. Algumas fórmulas de aparência mais simples exigem fórmulas recursivas e/ou infinitas... Obrigado
ResponderExcluirOi Teixeira! Acima onde se lê "Sum of Power" leia-se "Sum of Powers" OK
ResponderExcluirOi, Tavano! Obrigado.
ResponderExcluirO assunto principal é P(n;p). Somatório é apenas uma das aplicações.
Vc pode indicar o link da WEB onde encontrou algo parecido?
Oi Teixeira! Ok! Coloque no Google "Power sum" e entre em "Wolfram Mathword" e na Wikipédia "Bernoulli Numbers" Lá diz que Bernoulli estava tentando resolver esse problema de soma de potências quando descobriu esses números e calculou os seis primeiros, diz também, que é a fórmula mais usada para esse cálculo. Obrigado
ResponderExcluirValeu, amigo Tavano! Fiz algumas pequenas modificações no texto e coloquei um link alternativo para os internautas.
ResponderExcluirMuito bom, assim como todo conteúdo do blogue!
ResponderExcluirParabéns!
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