ELEMENTOS: 029-Somatórios Trigonométricos

Neste artigo, trataremos dos seguintes somatórios:

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(an+b);]$

$[;\sum_{n=1}^{n}cos(an+b);]$

Utilizaremos, então, a seguinte ferramenta:

$[;\sum_{n=1}^{n}[F(n+1)-F(n)]=F(n+1)-F(1);]$

Este resultado decorre de que, dado uma função aritmética qualquer $[; \mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R};]$ , definida por $[;f(n)=F(n+1)-F(n);]$ , seu somatório $[;\sum_{n=1}^{n} f(n);]$ pode ser calculado da seguinte forma:

$[;\sum_{n=1}^{n}f(n)=f(n)+f(n-1)+f(n-2)+...+f(3)+f(2)+f(1);]$

Mas,

$[;f(n)=F(n+1)-F(n);]$

$[;f(n-1)=F(n)-F(n-1);]$

$[;f(n-2)=F(n-1)-F(n-2);]$

....................................................

$[;f(3)=F(4)-F(3);]$

$[;f(2)=F(3)-F(2);]$

$[;f(1)=F(2)-F(1);]$

Observem que, na soma de todos os termos, as parcelas simétricas se cancelam, restando apenas $[;F(n+1);]$ e $[;F(1);]$ . Portanto, $[;\sum_{n=1}^{n} f(n)=\sum_{n=1}^{n}[F(n+1)-F(n)]=F(n+1)-F(1);]$ .

TEOREMA $[;1;]$

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(an+b)=\frac{sen \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right)}{sen \left(\frac{a}{2} \right)};]$

DEMONSTRAÇÃO

Em $[;\sum_{n=1}^{n}[F(n+1)-F(n)]=F(n+1)-F(1);]$ , fazendo $[;F(n)=\cos \left(an+b-\frac{a}{2}\right);]$ , temos

$[;\sum_{n=1}^{n}\left[cos(an+b+\frac{a}{2})-cos(an+b-\frac{a}{2})\right]=cos(an+b+\frac{a}{2})-cos(a+b-\frac{a}{2});]$

Em ambos os membros, aplicando a identidade ,

$[;cos ( u )-cos(v)=-2 sen(\frac{u+v}{2})sen(\frac{u-v}{2});]$

obtemos

$[;\sum_{n=1}^{n} \left[-2sen(an+b)sen \left(\frac{a}{2}\right) \right]=-2 sen \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right) \Rightarrow;]$

$[;-2sen \left(\frac{a}{2}\right)\sum_{n=1}^{n} \left[sen(an+b) \right]=-2 sen \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right) \Rightarrow;]$

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(an+b)=\frac{sen \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right)}{sen \left(\frac{a}{2} \right)};]$

TEOREMA $[;2;]$

$[;\sum_{n=1}^{n} \cos(an+b)=\frac{ \cos \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right)}{sen \left(\frac{a}{2} \right)};]$

DEMONSTRAÇÃO

Em $[;\sum_{n=1}^{n}[F(n+1)-F(n)]=F(n+1)-F(1);]$ , fazendo $[;F(n)= sen \left(an+b-\frac{a}{2}\right);]$ , temos

$[;\sum_{n=1}^{n}\left[sen(an+b+\frac{a}{2})-sen(an+b-\frac{a}{2})\right]=sen(an+b+\frac{a}{2})-sen(a+b-\frac{a}{2});]$

Em ambos os membros, aplicando a identidade ,

$[;sen(u)-sen(v)=2 \cos \left(\frac{u+v}{2}\right)sen \left(\frac{u-v}{2}\right);]$

obtemos

$[;\sum_{n=1}^{n} \left[2 \cos(an+b)sen \left(\frac{a}{2}\right) \right]= 2\cos \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right) \Rightarrow;]$

$[;2sen \left(\frac{a}{2}\right)\sum_{n=1}^{n} \left[ \cos(an+b) \right]= 2 \cos \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right) \Rightarrow;]$

$[;\sum_{n=1}^{n} \cos(an+b)=\frac{ \cos \left [\frac{a(n+1)}{2}+b\right]sen \left(\frac{an}{2}\right)}{sen \left(\frac{a}{2} \right)};]$

COROLÁRIOS

$[;I);]$ Para $[;a=\beta;]$ e $[;b=\alpha-\beta;]$ , temos

$[;a);]$

$[; \sum_{n=1}^n sen (\beta n+\alpha-\beta)=\sum_{n=1}^n sen[\alpha+(n-1)\beta]=;]$

$[;=sen(\alpha)+sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha+2\beta)+...+sen[\alpha+(n-1)\beta]=;]$

$[;=\frac{ sen \left [\frac{\beta(n-1)}{2}+\alpha\right]sen \left(\frac{\beta n}{2}\right)}{sen \left(\frac{\beta}{2} \right)};]$

$[;b);]$

$[; \sum_{n=1}^n \cos (\beta n+\alpha-\beta)=\sum_{n=1}^n \cos[\alpha+(n-1)\beta]=;]$

$[;=\cos(\alpha)+\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+2\beta)+...+\cos[\alpha+(n-1)\beta]=;]$

$[;=\frac{ \cos \left [\frac{\beta(n-1)}{2}+\alpha\right]sen \left(\frac{\beta n}{2}\right)}{sen \left(\frac{\beta}{2} \right)};]$

$[;II);]$ Para $[;a=1;]$ e $[;b=0;]$ , temos

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(n)=\frac{sen \left(\frac{n+1}{2}\right)sen\left(\frac{n}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2} \right)};]$ e $[;\sum_{n=1}^{n}\cos(n)=\frac{\cos \left(\frac{n+1}{2}\right)sen\left(\frac{n}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2} \right)};]$

$[;III);]$ Para $[;a=2;]$ e $[;b=0;]$ , temos

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(2n)=\frac{sen(n+1)sen(n)}{sen (1)};]$ e $[;\sum_{n=1}^{n} \cos(2n)=\frac{ \cos(n+1)sen(n)}{sen (1)};]$

$[;IV);]$ Para $[;a=2;]$ e $[;b=-1;]$ , temos

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(2n-1)=\frac{sen^2(n)}{sen (1)};]$ e $[;\sum_{n=1}^{n} \cos (2n-1)=\frac{ \cos(n)sen(n)}{sen (1)};]$

$[;V);]$

$[;\frac{sen(1)+sen(3)+...+sen(2n-1)}{\cos(1)+\cos(3)+...+\cos(2n-1)}=tg(n);]$

EXEMPLOS

Ângulos em graus:

$[;\sum_{n=1^o}^{20^o} sen (n^o)=\frac{sen \left(\frac{20+1}{2}\right)sen\left(\frac{20}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{sen (10,5^o)sen (10^o)}{sen (0,5^o)}\approx 3,626293;]$

Ângulos em radianos:

$[;\sum_{n=1 rad}^{20 rad} sen (n rad)=\frac{sen \left(\frac{20+1}{2}\right)sen\left(\frac{20}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{sen (10,5 rad)sen (10 rad)}{sen 0,5 rad}\approx 0,9982218;]$

Ou seja, o resultado dos somatórios trigonométricos, mesmo sendo numericamente os mesmos limites ( no caso $[;1;]$ e $[;20;]$ ), depende das unidades de medidas.

Para $[;n=360^o;]$ , temos $[;\sum_{n=1}^{360}sen(n)=\sum_{n=1}^{360}cos(n)=0;]$ , porque nas fórmulas de cada somatório o fator $[;sen\left(\frac{n}{2}\right)=sen\left(\frac{360}{2}\right)=sen(180)=0;]$ se anula.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

As fórmulas

$[;\sum_{n=1}^{n}[F(n+1)-F(n)]=F(n+1)-F(1);]$ ( 1 )

$[;\sum_{n=1}^{n}sen(n)=\frac{sen \left(\frac{n+1}{2}\right)sen\left(\frac{n}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2} \right)};]$

$[;\sum_{n=1}^{n}\cos(n)=\frac{\cos \left(\frac{n+1}{2}\right)sen\left(\frac{n}{2}\right)}{sen \left(\frac{1}{2} \right)};]$

já existem, é claro, mas descobri-as de modo individual em $[;1988;]$ . Em (1), designei $[;F(n);]$ como INTEGRAL NATURAL de $[;f(n)=F(n+1)-F(n);]$ .

Os somatórios trigonométricos foram sondados pelas FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE:

$[;cos ( u )-cos(v)=-2 sen(\frac{u+v}{2})sen(\frac{u-v}{2});]$

$[;sen(u)-sen(v)=2 \cos \left(\frac{u+v}{2}\right)sen \left(\frac{u-v}{2}\right);]$

Para saberem mais sobre estas identidades trigonométricas, sugiro um excelente artigo do blog BARICENTRO DA MENTE.

Tópicos relacionados:

Generalização do Teorema de Viviane
Integral Natural e Somatórios

Imagem:http://wiki.sapo.pt/wiki/%CE%A3

9 comentários:

Kleber Kilhian21 de março de 2012 às 22:38
Olá Aloísio,

Gostei de aprender mais esta! Particularmente não lembro de ter visto estes somatórios, apesar de você ter dito que tais fórmulas já exitem. Procurei na internet e não encontrei nada sobre. Creio que este será mais um de seus artigos de referência.

Bem, gostaria de ver algum exemplo numérico, que acha de adicionar um aí no post? Por exemplo de 0 a PI.

Agradeço pela menção ao Baricentro. Forte abraço, parceiro!
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Prof. Paulo Sérgio22 de março de 2012 às 02:31
Interessante o post. Certa vez percebi que através destes somatórios podemos aproximar a área sob o gráfico da função seno ou cosseno. Além disso, se usarmos o limite trigonométrico fundamental, podemos calcular a área exatamente. Acho que esse exemplo, responde de certo modo a pergunta do Kleber. Para saber mais sobre essa aplicação veja este post

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/07/o-ltf-e-o-calculo-de-areas-parte-2.html
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Kleber Kilhian22 de março de 2012 às 07:35
Era isso mesmo que queria ver Paulo, obrigado por indicar o link. Procurando na internet com o título "somatório de funções trigonométricas", ou "cálculo de área função seno" por exemplo, não encontro seu artigo lá. Não sei se seria o caso de incluir uma linha no texto som estas palavras chaves.
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tavano23 de março de 2012 às 12:13
Oi Teixeira! Aguardei muito esse artigo(você o tinha prometido) é muito engenhoso, esperava com ele provar que pi é irracional, mas ele é bom demais e funciona tanto para graus como para radianos como para qualquer outra unidade de medida de ângulo que venham a inventar, isso me atrapalhou, ainda estou tentando mas as possibilidades diminuíram. Obrigado
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tavano24 de março de 2012 às 17:10
Oi Teixeira! Só como curiosidade: O somatório de sen(n) nunca se anula se n está em radianos, pois para se anular deveríamos ter ou sen[(n+1)/2]=0 ou sen(n/2)=0 e para que isso aconteça devemos ter (n+1)/2=k(pi) => pi=(n+1)/2k isto é, pi seria racional(inteiro/inteiro) e o mesmo para sen(n/2)=0. Eu esperava seguir o caminho inverso, isto é, que ficasse evidente que o somatório não se anulava e daí provar a irracionalidade de pi. Abçs
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quarta-feira, 21 de março de 2012

029-Somatórios Trigonométricos

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V.O