Sendo
seja convergente?" Esta pergunta minha se revelou equivocada porque não existe
nestas condições, de forma que
diverge se
e converge se
. Vamos dividir esta afirmação em dois teoremas.
Teorema 1. Se
, então
diverge.
Demonstração.
Primeiramente, se
e
vamos ter
![=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+...=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\rightarrow \infty [;=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+...=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\rightarrow \infty;]](http://thewe.net/tex/=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7B4%7D%7B8%7D+...=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+...%5Crightarrow%20%5Cinfty)
Demonstração.
Primeiramente, se
Agora, para a desigualdade
, temos
e
, com as somas parciais
. Logo, o fato de
ser divergente induz
também a ser.
Teorema 2. Se
,
converge.
Demonstração: Seja
tal que
. Assim,
Fazendo
, verificamos que o fato de
é importante porque faz com que
.
Portanto,
Portanto,
Referência Bibliográfica: Cálculo com Geometria Analítica V2, Simmons, Ed. McGraw-Hill
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