ELEMENTOS: 042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais

Sejam dois círculos de raios $[;r_1=r_2=r;]$ . Na intersecção entre estes dois círculos, seja $[;\theta;]$ o ângulo, medido em radianos, formado entre os raios de um dos círculos, que interceptam os pontos de intersecção ( $[;A;]$ e $[;C;]$ ) - veja diagrama. Então a área $[;I;]$ de intersecção é

$[; I=r^2(\theta - sen \theta);]$

DEMONSTRAÇÃO

Lembrando que

$[;\rightarrow;]$ Se $[;\alpha;]$ é um ângulo em graus, então $[; \theta = \frac{\alpha \pi}{180};]$ é o mesmo em radianos; e

$[;\rightarrow;]$ Se $[;\alpha;]$ é também ângulo de setor de círculo de raio $[;r;]$ , então

$[;S_c=;]$ área do setor circular $[;=\frac{\alpha \pi r^2}{360}=\frac { \alpha \pi}{180} \frac{r^2}{2}=\frac{\theta r^2}{2};]$ ; e ainda

$[;\rightarrow;]$ $[;sen(2u)=2sen(u)cos(u);]$ .

diagrama $[;1;]$

Vejamos,

A área $[;I;]$ é o dobro da área $[;U;]$ do segmento circular $[;ASC;]$ .

E $[;U=;]$ área $[;S_c;]$ do setor circular $[;OASC;]$ menos a área $[;T;]$ do triângulo $[;OAC;]$ .

Mas,

$[;T=2. \frac{AB.OB}{2}=AB.OB=r.sen \left(\frac{\theta}{2} \right). r.\cos \left( \frac{\theta}{2} \right)= \frac{r^2}{2}.sen \theta;]$

$[;S_c= \frac{\theta.r^2}{2};]$

Logo, $[;I=2U=2(Sc-T)=2 \left( \frac{\theta.r^2}{2}-\frac{r^2}{2}.sen \theta \right) \Rightarrow I=r^2(\theta - sen \theta);]$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

$[;1);]$ Calcular a área de intersecção entre dois círculos de raios iguais cuja distância entre os centros é $[;d=r=1cm;]$ .

Resolução: Pelas condições do problema e conforme o diagrama $[;1;]$ , temos $[;OB=\frac{d}{2}=\frac{r}{2};]$ e $[;\cos \left(\frac {\theta}{2}\right)=\frac{OB}{r}=\frac{r/2}{r}=\frac{1}{2};]$ $[;\Rightarrow \frac{\theta}{ 2}= \frac{\pi}{3} rad \Rightarrow \theta = \frac{2 \pi}{3} rad;]$

Portanto, $[;I=r^2(\theta -sen \theta )=1^2 [ \frac{2 \pi}{3} - sen \left( \frac{ 2\pi}{3}\right) ]= \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} ;]$

Resposta: $[;I=\frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{6} \approx 1,228 cm^2;]$

Obs: Comparando com a área de um destes círculos que é $[;A= \pi r^2= \pi. 1^2 = \pi \approx 3,141cm^2;]$ , a área desta intersecção é pouco mais que $[;39;]$ por cento.

$[;2);]$ Um fazendeiro quer delimitar três terrenos formados pela intersecção de dois círculos de raios iguais $[;r_1=r_2=r=20m;]$ , conforme o diagrama abaixo, de forma que as áreas $[;A;]$ , $[;B;]$ e $[;C;]$ sejam iguais.

diagrama $[;2;]$

Na primeira fase de construção destes cercados, é importante para ele fixar os centros $[;O_1;]$ e $[;O_2;]$ destes círculos no solo, de forma que esta condição se estabeleça. Calcular, então, a distância ideal entre os centros. Obs: como o problema é prático, pode-se usar de todo conhecimento e ferramentas matemáticas a sua disposição.

Resolução: Tendo em vista que $[;B=C;]$ e $[;B+C=\pi r^2;]$ , a área de intersecção é a metade da área de um dos círculos, ou seja $[;I=B=\frac{\pi r^2}{2};]$ .

Ainda pelo diagrama $[;1;]$ , verificamos que a distância entre os centros é dado por $[;d=2.OB=2r.\cos \left(\frac{\theta}{2}\right);]$ . Vamos calcular $[;\theta;]$ .

Neste caso,

$[;I=\frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]$

$[;r^2(\theta - sen \theta )= \frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]$

$[;\theta - sen \theta= \frac{\pi}{2};]$

Temos então, uma equação trigonométrica em $[;\theta;]$ cuja solução é igual ao zero da função

$[;f(\theta)= \theta - sen \theta -\frac{\pi}{2};]$

$[;I);]$ É fácil perceber que

para $[;\theta \rightarrow - \infty;]$ , temos $[;f(\theta) \rightarrow - \infty;]$

para $[;\theta \rightarrow + \infty;]$ , temos $[;f(\theta) \rightarrow + \infty;]$

$[;II);]$ Por $[;f^'( \theta)= 1-cos \theta=0;]$ ou $[;cos \theta =1;]$ , concluímos que a função $[;f(\theta);]$ possui infinitos pontos críticos no intervalo aberto $[;(- \infty, + \infty);]$ para $[;\theta=...-4 \pi, -2\pi, 0, +2\pi, +4 \pi,...;]$ .

$[;III);]$ Por $[;f^''(\theta)=sen \theta;]$ e como $[;f^''( k \pi)=0;]$ , para todo $[;k \in \mathbb{Z};]$ , concluímos que cada ponto crítico de $[;f(\theta);]$ não é máximo e nem mínimo, mas um ponto de inflexão ( mudança de concavidade ). Disto e por $[;I);]$ , deduzimos que a função possui apenas um zero, porque se tivesse pelo menos dois, ela teria, então, pelo menos um máximo local ou um mínimo local ( lembrem-se que $[;g(\theta)=sen \theta;]$ é uma função contínua ).

$[;IV);]$ E como $[;f(0)=0 - sen(0)-\frac{\pi}{2}=- \frac{\pi}{2};]$ , já temos todas as informações necessárias para visualizar o esboço do gráfico de $[;f(\theta);]$ ( além de constatar que o único zero é positivo ), veja:

diagrama $[;3;]$

Situação perfeita para utilizarmos o método de Newton que no presente caso diz que, sendo $[;\theta_x>0;]$ o zero de $[;f(\theta);]$ e se $[;\theta_o>\theta_x ;]$ é uma aproximação inicial do mesmo, então $[; \theta_1= \theta_o - \frac{f(\theta_o)}{f^'(\theta_o);]$ é uma aproximação melhor, ou seja $[;\theta_x < \theta_1 < \theta_o;]$ . Usando recursivamente esta fórmula, podemos calcular $[;\theta_x;]$ com a precisão que quisermos.

Pela idéia do gráfico, notamos que $[;0<\theta_x< 2\pi;]$ , onde $[;[2\pi, f(2\pi)];]$ é o primeiro ponto de inflexão acima do eixo $[;O \theta;]$ . Vamos testar, então, como uma primeira aproximação, $[;\theta_o=3;]$ . Como $[;\frac{\pi}{2}=1,5707...;]$ e usando uma boa calculadora científica ou uma planilha eletrônica (lembrando que os ângulos são em radianos), temos

$[; \theta_1=\theta_o - \frac{\theta_o - sen \theta_o -1,5707...}{1-cos \theta_o} \Rightarrow;]$

$[;\theta_1=3 - \frac{3 - sen (3) -1,5707...}{1-cos (3)} = 2,3526... \rightarrow;]$

$[;\theta_2=2,3526... - \frac{2,3526... - sen (2,3526...) -1,5707...}{1-cos (2,3526...)} = 2,3102... \rightarrow;]$

$[;\theta_3=2,3102... - \frac{2,3102... - sen (2,3102...) -1,5707...}{1-cos (2,3102...)} = 2,3098... \rightarrow;]$

$[;\theta_4=2,3098... - \frac{2,3098... - sen (2,3098...) -1,5707...}{1-cos (2,3098...)} = 2,3098... ;]$

e obtemos o zero de $[;f(\theta)= \theta - sen \theta -\frac{\pi}{2};]$ ou a raiz de $[;\theta - sen \theta= \frac{\pi}{2};]$ com uma precisão de quatro casas decimais: $[;\theta_x \approx 2,3098;]$ .

Resposta: Para que as áreas $[;A;]$ , $[;B;]$ e $[;C;]$ sejam iguais, a distância ideal entre os centros dos círculos de raios $[;r_1=r_2=r=20m;]$ , que formam as mesmas, tem que ser $[;d=2r.\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \approx 2.20.\cos\left(\frac{2,3098}{2}\right)=16,160m;]$ .

Obs: A proporção da distância dos centros e um dos raios é $[;\frac{d}{r}=0,8080...;]$

Referência Bibliográfica
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.

Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.

6 comentários:

Prof. Paulo Sérgio19 de maio de 2012 às 17:04
Interessantíssimo este post. Eu já tinha resolvido apenas o problema do fazendeiro. Mas a abordagem aqui foi muito mais completa, apresentando a fórmula para achar a área de interseção entre os círculos.
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tavano19 de maio de 2012 às 20:52
Oi, Teixeira! Às vezes a gente despreza um assunto (creio que se chama quadratura das lunas) e você conseguiu arrancar um belo e útil exemplo do método de Newton. Parabéns! abçs
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Prof. Paulo Sérgio20 de maio de 2012 às 11:00
O problema do fazendeiro que me refiro é o que você expôs neste post, mas também resolvi a tempos atrás e está nos meus rascunhos. Com este post, o meu rascunho ficou ultrapassado. Abraços!
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Anônimo30 de julho de 2013 às 14:56
Caiu na prova da AFA 2014
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sábado, 19 de maio de 2012

042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais

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V.O