Sejam dois círculos de raios . Na intersecção entre estes dois círculos, seja o ângulo, medido em radianos, formado entre os raios de um dos círculos, que interceptam os pontos de intersecção ( e ) - veja diagrama. Então a área de intersecção é
DEMONSTRAÇÃO
Lembrando que
Se é um ângulo em graus, então é o mesmo em radianos; e
Se é também ângulo de setor de círculo de raio , então
área do setor circular ; e ainda
.
diagrama
Vejamos,
A área é o dobro da área do segmento circular .
E área do setor circular menos a área do triângulo .
Mas,
e
Logo,
E como , já temos todas as informações necessárias para visualizar o esboço do gráfico de ( além de constatar que o único zero é positivo ), veja:
Situação perfeita para utilizarmos o método de Newton que no presente caso diz que, sendo o zero de e se é uma aproximação inicial do mesmo, então é uma aproximação melhor, ou seja . Usando recursivamente esta fórmula, podemos calcular com a precisão que quisermos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Calcular a área de intersecção entre dois círculos de raios iguais cuja distância entre os centros é .
Resolução: Pelas condições do problema e conforme o diagrama , temos e
Portanto,
Resposta:
Obs: Comparando com a área de um destes círculos que é , a área desta intersecção é pouco mais que por cento.
Um fazendeiro quer delimitar três terrenos formados pela intersecção de dois círculos de raios iguais , conforme o diagrama abaixo, de forma que as áreas , e sejam iguais.
Na primeira fase de construção destes cercados, é importante para ele fixar os centros e destes círculos no solo, de forma que esta condição se estabeleça. Calcular, então, a distância ideal entre os centros. Obs: como o problema é prático, pode-se usar de todo conhecimento e ferramentas matemáticas a sua disposição.
Resolução: Tendo em vista que e , a área de intersecção é a metade da área de um dos círculos, ou seja .
Ainda pelo diagrama , verificamos que a distância entre os centros é dado por . Vamos calcular .
diagrama
Resolução: Tendo em vista que e , a área de intersecção é a metade da área de um dos círculos, ou seja .
Ainda pelo diagrama , verificamos que a distância entre os centros é dado por . Vamos calcular .
Neste caso,
Temos então, uma equação trigonométrica em cuja solução é igual ao zero da função
É fácil perceber que
para , temos
para , temos
Por ou , concluímos que a função possui infinitos pontos críticos no intervalo aberto para .
Por e como , para todo , concluímos que cada ponto crítico de não é máximo e nem mínimo, mas um ponto de inflexão ( mudança de concavidade ). Disto e por , deduzimos que a função possui apenas um zero, porque se tivesse pelo menos dois, ela teria, então, pelo menos um máximo local ou um mínimo local ( lembrem-se que é uma função contínua ).
diagrama
Pela idéia do gráfico, notamos que , onde é o primeiro ponto de inflexão acima do eixo . Vamos testar, então, como uma primeira aproximação, . Como e usando uma boa calculadora científica ou uma planilha eletrônica (lembrando que os ângulos são em radianos), temos
e obtemos o zero de ou a raiz de com uma precisão de quatro casas decimais: .
Resposta: Para que as áreas , e sejam iguais, a distância ideal entre os centros dos círculos de raios , que formam as mesmas, tem que ser .
Obs: A proporção da distância dos centros e um dos raios é
Referência Bibliográfica
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.
Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.
Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.
Interessantíssimo este post. Eu já tinha resolvido apenas o problema do fazendeiro. Mas a abordagem aqui foi muito mais completa, apresentando a fórmula para achar a área de interseção entre os círculos.
ResponderExcluirOi, Paulo.
ExcluirTambém tem a interessante questão relativa a área de intersecção ser igual a área do quadrado inscrito ( ou outro polígono qualquer ).
Sobre o problema do fazendeiro, não consegui encontrar sua resolução no seu blog.
Obrigado.
Oi, Teixeira! Às vezes a gente despreza um assunto (creio que se chama quadratura das lunas) e você conseguiu arrancar um belo e útil exemplo do método de Newton. Parabéns! abçs
ResponderExcluirOi, Tavano.
ExcluirPesquisei sobre a quadratura das lunas e achei muito interessante.
De fato, Newton nos legou uma das mais práticas e poderosas ferramentas para resolver equações difíceis.
Valeu, obrigado.
O problema do fazendeiro que me refiro é o que você expôs neste post, mas também resolvi a tempos atrás e está nos meus rascunhos. Com este post, o meu rascunho ficou ultrapassado. Abraços!
ResponderExcluirCaiu na prova da AFA 2014
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