Teorema e demonstração enviados por Sebastião Vieira de Nascimento ( Sebá ), professor titular aposentado da
.
Se
ou
for um primo ímpar e
, então a equação
não tem solução em inteiros.
DEMONSTRAÇÃO
I - Primeiramente, no caso de
, temos
e
. Uma vez que
,
e
são inteiros,
é divisor positivo de
. Já que
é um primo ímpar, os divisores positivos de
são:
,
e
.
Temos, então,
sistemas de equações:
Dos três sistemas acima, somente o
é compatível.
O
sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre dois inteiros é igual a
(
sendo um primo ímpar ), a soma desses dois números não pode ser igual a unidade.
O
sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre dois inteiros é igual a
, a soma desses dois números não pode ser igual a
.
Se encontrarmos inteiros positivos que satisfaçam o
sistema, eles também satisfazem
.
Resolvendo o
sistema, obtém-se
e
.
Como
é um primo ímpar, se escolhermos, por exemplo
, obtém-se:
e
. Por inspeção, verifica-se que estes valores satisfazem o
sistema e a equação
.
Chega-se ao mesmo resultado considerando
um primo ímpar.
II-Para
, temos
e isto implica que
é divisor positivo de
. Os divisores de
, com
primo ímpar, são
,
,
,
e
. Temos, então,
sistemas de equações:
Chega-se ao mesmo resultado considerando
um primo ímpar.
Chega-se ao mesmo resultado considerando
um primo ímpar.
Se
for um primo ímpar e
ou
for um primo ímpar, a equação
não possui soluções inteiras. Segue-se as justificativas.
Chega-se ao mesmo resultado considerando
um primo ímpar.
V-Seja
. Se
, temos
II-Para
O
sistema é incompatível, haja vista que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a
( com
primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a unidade.
O
sistema é incompatível, uma vez que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a
( com
primo ímpar ), a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a
.
O
sistema é incompatível, visto que se a diferença entre os quadrados de dois inteiros é igual a
, a soma dos quadrados desses dois inteiros não pode ser igual a
.
No
sistema, temos na sua primeira equação
e
é divisor de
( primo ímpar ). Assim, temos
ou
. Montamos os sistemas
O sistema
é incompatível, haja vista que se a diferença de entre dois inteiros é igual a
, a soma desses dois inteiros não pode ser igual à unidade.
O sistema
é incompatível, uma vez que se
, então
.
Portanto, o
sistema é incompatível.
No
sistema, na sua primeira equação
. Uma vez que
e
são inteiros,
não pode ser igual à unidade porque teríamos
( impossível ).
Portanto, o
sistema é incompatível.
Como nenhum dos cinco sistemas de equações é compatível, a equação
não tem soluções inteiras, se
ou
for ímpar. Logo, dado o inteiro
, a equação
também não tem.
Chega-se ao mesmo resultado considerando
III-Para
, temos
ou
o que implica que
é divisor de
( primo ímpar ). Divisores de
:
,
,
e
.
Temos, então,
sistemas de equações:
Como
e analisando as segundas equações dos
,
e
sistemas, verifica-se que estes são incompatíveis.
O
sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse
, ou seja,
( neste caso,
ou
,
). Assim,
.
Logo, se
ou
for um primo ímpar e
não tem soluções inteiras, dado o inteiro
, a equação
também não tem.
IV-Seja
. Se
, temos
ou
Já que
divide
( com
primo ímpar ), temos que
ou
ou
ou
ou
ou
. Segue, então,
sistemas:
Como
e analisando as segundas equações dos
,
,
,
e
sistemas, percebe-se que estes são incompatíveis.
O
sistema seria compatível apenas se a sua segunda equação fosse
, ou seja,
( neste caso,
ou
,
). Assim,
.
V-Seja
ou
Já que
divide
( com
primo ímpar ), temos que
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
. Segue, então, o seguintes
sistemas:
: Isto é um desafio para os UTFistas de plantão.
Tópico relacionado: UTF:Demonstração de Caso Particular-I
Como
, os sete primeiros sistemas são incompatíveis ( pelo mesmo motivo dos casos anteriores ).
O
sistema também o é, haja vista que se a segunda equação deste sistema fosse
, teria soluções em inteiros:
ou
e
. Logo,
.
Chega-se ao mesmo resultado considerando
um primo ímpar.
CONCLUSÃO: Para
, com
ou
primo ímpar, sempre vamos encontrar
sistemas de equações incompatíveis. A fim de que o Último Teorema de Fermat (
) seja demonstrado, usando a matemática do século
, resta provar, aproveitando o resultado do presente trabalho, que a equação
não tem soluções em inteiros se
e
forem compostos.
Tópico relacionado: UTF:Demonstração de Caso Particular-I
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