No enunciado a seguir, significa a parte inteira de , com real.
Teorema. Sejam , e inteiros positivos, com primo, de forma que e é o maior expoente de na desigualdade .
Então o expoente de na fatoração de é
Exemplo . Calcular o expoente de na fatoração de . Observem que não só calcular o fatorial de quanto fatorar é algo trabalhoso. O teorema acima permite um atalho para resolver o problema proposto. Veja,
De fato, pois ( o expoente de é ).
Exemplo . Calcular o expoente de na fatoração de .
Observem que, como , paramos de somar os valores entre colchetes quando o último denominador foi .
DEMONSTRAÇÃO
Os múltiplos de , são ,,,...,, com e máximo. Assim, se dividirmos por vamos ter o quociente com resto ou não. Portanto, é a parte inteira de , ou seja, .
Dentro de vamos ter o produto , com .
Concluimos então que o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de .
No entanto, o expoente total de em é (expoente de na fatoração de ).
Pela mesma lógica, o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de , com .
E o o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de , com .
Etc, de forma que, se , teremos e paramos o processo com , antes que a primeira desigualdade seja atingida. Assim, se é o máximo valor inteiro tal que , isto implica em . Mas vejam pelos exemplos e que não é necessário calcular este logaritmo.
O que fizemos foi encontrar expoentes parciais de na fatoração de . Sendo o expoente de na fatoração de , temos
Concluimos então que o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de .
No entanto, o expoente total de em é (expoente de na fatoração de ).
Pela mesma lógica, o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de , com .
E o o expoente de na fatoração de é o mesmo expoente de na fatoração de , com .
Etc, de forma que, se , teremos e paramos o processo com , antes que a primeira desigualdade seja atingida. Assim, se é o máximo valor inteiro tal que , isto implica em . Mas vejam pelos exemplos e que não é necessário calcular este logaritmo.
O que fizemos foi encontrar expoentes parciais de na fatoração de . Sendo o expoente de na fatoração de , temos
,
com
com
Referência Bibliográfica
Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
Muito interessante este teorema. Acho que através dele é possível responder a pergunta: Quantos zeros termina n!?
ResponderExcluirOi, Teixeira e Prof Paulo! Bem lembrado, Professor! A quantidade de "cincos"(5) será a quantidade de "zeros". Vi também, há muito tempo, esse teorema sendo usado na demonstração de que (e^2) é irracional, o autor usava-o para cancelar os "2" que apareciam no numerador e no denominador do termo geral da série que define (e^2). Termo geral=(2^n)/n!, infelizmente não lembro detalhes. Obrigado..abçs
ResponderExcluirOi, amigos!
ResponderExcluirPaulo, essa questão sobre os zeros terminais de [;n!;] é clássica para este teorema e acabei esquecendo de evidenciar isto.
Mas em um futuro post, além da questão dos zeros, mostrarei também que se [;a_0,a_1,...,a_z;] são os dígitos de [;n;] na base [;b;], então
[;E_n(n!)=\frac{n-\sum_{i=0}^{i=z}a_i}{p-1};]
Tavano, nada como compartilhar conhecimentos pois o que sei é [;0,...1;] por cento do que as outras pessoas sabem. Essa questão do [;e^2;] é novidade para mim.
Abraços!
Olá Teixeira,
ResponderExcluirHouve um "cochilo" na digitação:
Em vez de 9! = 332880, deveria ser 9! = 362880
Em vez de E5(139!), deveria ser: E5(138!)
Abraços
Sebá
Obrigado, amigo Sebá. Já corrigi.
ExcluirUm grande abraço.