Teorema e demonstração enviados pelo leitor Antonio Carlos Tavano, de São Paulo / SP.
Se é um primo qualquer e um primo ímpar, então não
existem inteiros positivos e tais que
Isto é um caso particular do Último Teorema de Fermat ( ), com a restrição de que e sejam simultâneamente primos, com -. A demonstração será consequência dos lemas enunciados a seguir.
Obs: significa divide e significa não divide .
Lema : Se é primo e , então e , com ;
Lema : Seja . Se e e e então ;
Lema Se ,
então e .
De fato, se . Para números
naturais essa igualdade só se verifica se e , pois . Logo, não divide e usando o mesmo processo
para , concluímos que não divide ;
Lema : Se é primo e
então ou ou (ou ambos);
Lema : Se é primo e
então esse lema é decorrente do anterior pois se
ou ou , logo ;
Lema : Se é primo
ímpar então
Lema : Se ,
e , então . Para provarmos a desigualdade vamos supor . Aqui temos uma dificuldade. Temos
que supor, se e ficamos com a
pendência de e para o caso crítico de e lembrando
. Substituindo esses valores em veremos que a desigualdade
ainda se verifica: , e finalmente, .
DEMONSTRAÇÃO
Vamos provar por
redução ao absurdo. Seja e seja . Assim, ( como é impar tem sinal negativo). Cancelando
temos, Como aparece em todos os termos, vamos colocá-lo
em evidência. . Substituindo toda a expressão entre colchetes por : . Observe o lema . Suponhamos e . Para e ou
. Absurdo pois e são não-nulos. Logo, . Se e isso só é
possível se e . Mas se e teríamos um absurdo. Logo, e não é enem . Concluímos que se e , então , ,
e pelo lema . Se , então
pelo lema ou ou Neste momento, vamos supor , portanto, e pelo lema , o que é
um absurdo pelo lema . Afinal o que provamos até agora? Provamos todo
o teorema menos para . É o que faremos agora. Seja . Vimos
acima que, se , não divide e para , pode dividir .Mas
não pode dividir . Vamos provar. Suponhamos . Então é um inteiro e
temos . Como é um inteiro assim como cada termo até o
penúltimo (veja lema ), então também é
inteiro o que implica e pelo lema , o que é
absurdo pelo lema . Para que não nos percamos, lembre que . Acabamos de provar que só pode ser igual a e não pode ser
igual a ou etc. Se , isso implica que e, portanto, , o que contradiz o lema e assim,
fica demonstrado o teorema.
Tópico relacionado: UTF:Demonstração de Caso Particular-II
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Eu já havia feito essa demonstração antes, mas terminei assim: se z=n, então a=n^k. Coloquei n em evidência nos colchetes, e bastou provar que n não divide x^(n-1). O pequeno teorema de Fermat diz:
ResponderExcluirPara todo x inteiro, se n é primo, então
x^(n-1) ≡ 1 (mod n). Logo, n∤x^(n-1), o que é absurdo.
Olá, Prof. Narciso Busatto!
ExcluirInteressante conexão entre o pequeno e o grande teorema de Fermat...
Acredito que em todo mundo, mesmo com a demonstração de Willes, os fãs deste último teorema continuam a buscar uma demonstração geral, de forma que caiba em uma ou duas folhas ( e não em duzentas! ).
Fico honrado com sua visita e apareça mais.
Um abraço!
Oi, Narciso! Fiquei duplamente feliz ao ler seu comentário. Primeiro porque descubro que há mais gente pensando em matemática além de mim do Aloisio e de outros donos de blogs. Segundo porque você não apontou erros o que é comum em se tratando de UTF. Não sei como vai afetar a sua demonstração o que vou lhe dizer, pois não sei quais são suas suposições iniciais, mas, do modo como você enunciou, o pequeno teorema de Fermat não vale para todo x inteiro: Contraexemplo: 10^(5-1)== 0 (mód 5) e não côngruo a 1. Um recado para os que tentam demonstrar o UTF: Tenho fortes razões para crer que em algum momento da demonstração os sinais ">" ou "<" têm que aparecer. Muito Obrigado pela leitura...abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ExcluirMuito bom o seu teorema. Interessante que é comum vê casos na história da matemática onde se exploram casos particulares de expoente, apenas.
Parabéns!
Obrigado.
Olá Tavano,
ExcluirÉ verdade, olhando apenas para o meu enunciado, realmente existe um erro... Mas o pequeno teorema de Fermat leva em consideração que mdc(x,n)=1, ou seja, n não pode dividir x, e isso, para a demonstração acima, já está afirmado pelo Lema 3.
De qualquer forma, o enunciado correto seria:
Para todo x inteiro, se n é primo e mdc(x,n)=1, então...
Valeu por ter notado...
Abraço
Oi, Narciso!OK, Novamente agradeço pela leitura abçs.
ExcluirOi, Teixeira! Eu que agradeço pela confiança e oportunidade....abçs
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