O objetivo do presente artigo é calcular os valores de
Já vimos, no artigo anterior, as seguintes representações de
Algébrica:
Geométrica: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?z=%28a,b%29)
Trigonométrica: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?z=%5Crho%28cos%20%5C%20%5Ctheta+isen%20%5C%20%5Ctheta%29)
Forma Exponencial de um Número Complexo
Um modo de chegar na forma exponencial é pensar em
na forma trigonométrica como uma função de
(em radianos), derivar e resolver a equação diferencial correspondente, ou seja
Mas em
e
temos
e
, respectivamente, de forma que
. Chegamos, então, a forma exponencial do número complexo
:
Onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.
Agora, para achar uma expressão para
, façamos
e calculamos
de forma que
Mas,
Substituindo estas equivalências na expressão final e efetuando a diferença do segundo membro, chegamos a conclusão que
ou
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![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D=senh%20%5C%20B.%5Ccos%20A)
No caso de
, usamos agora
Fazendo
e
, desenvolvendo e separando a parte real e imaginária, chegamos analogamente à
ou
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![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?D=%20-sen%20%5C%20A%20%5C%20senh%20%5C%20B)
Para
, basta fazer
e usar a fórmula conhecida de divisão de dois números complexos na forma algébrica
Fica como exercício aos leitores.
Referência Bibliográfica
-História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA,
;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol.
- Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol.
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books,
.
Gostará de ler também:
Olá, Aloisio!
ResponderExcluirEstá de parabéns pelo post! Muito bom mesmo!
Só tenho uma dúvida; Como você tem feito para escrever em LaTex no blogger?
Por acaso, meu script pro firefox tem dado errado, e gostaria de saber alternativas.
Abraços,
João Pedro.
Oi, João Pedro!
ExcluirObrigado!
Desde quando tive problemas com o latex no Firefox estou usando uma sugestão do Kleber. É um editor online de equações:
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Valeu, nobre.
Nossa Aloisio, está de parabéns com este post, pois usou uma abordagem que eu não conhecia, ou seja, deduziu a relação de Euler sem usar séries infinitas. Como sugestão para ficar mais elegante o post, usa as funções seno e cosseno hiperbólico que são dadas por
ResponderExcluir[;\sinh B = \frac{e^B - e^{-B}}{2};]
e
[;\cosh B = \frac{e^B + e^{-B}}{2};]
Oi, Paulo!
ResponderExcluirObrigado pelos elogios e pela sugestão. Como não tenho muita intimidade com funções hiperbólicas, nem saquei à primeira vista. Mas já fiz os complementos.
Valeu!