ELEMENTOS: 083-Valores Trigonométricos de z=A+Bi (II)

terça-feira, 13 de novembro de 2012

083-Valores Trigonométricos de z=A+Bi (II)

No post 082 , referente ao número complexo $z=A+Bi$ , chegamos aos seguintes resultados:

$sen(A+Bi)=(sen \ A \ cosh \ B)+(senh \ B \ cos \ A)i$ (1)

$cos(A+Bi)= (cos \ A \ cosh \ B)-(sen \ A \ senh \ B)i$ (2)

onde

$senh \ B=\frac{e^B-e^{-B}}{2}$

$cosh \ B=\frac{e^B+e^{-B}}{2}$

são o seno e cosseno hiperbólicos de $B$ , respectivamente, com $e=2,718...$ ( número de $Euler$ ).

Em complemento à postagem anterior, veremos um caminho mais suave para se chegar às fórmulas (1) e (2). Primeiramente, levamos em conta que

$sen \ \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\Rightarrow$

$sen(Bi)=\frac{e^{i(Bi)}-e^{-i(Bi)}}{2i}=\frac{e^{-B}-e^{B}}{2i}=\left(\frac{e^B-e^{-B}}{2}\right)i \Rightarrow$

$sen \ (Bi)=(senh \ B)i$

assim como

$cos \ \theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\Rightarrow$

$cos \ (Bi)=\frac{e^{i(Bi)}+e^{-i(Bi)}}{2}=\frac{e^{-B}+e^B}{2} \Rightarrow$

$cos \ (Bi)= cosh \ B$

Logo,

$sen(A+Bi)$

$sen(A+Bi)=sen \ A \ cos \ Bi+sen \ Bi \ cos \ A \Rightarrow$

$sen(A+Bi)=sen \ A \ cosh \ B+(senh \ B)i \ cos \ A \Rightarrow$

$sen(A+Bi)=(sen \ A \ cosh \ B)+(senh \ B \ cos \ A)i$

$cos(A+Bi)$

$cos(A+Bi)=cos \ A \ cos \ Bi -sen \ A \ sen \ Bi \Rightarrow$

$cos(A+Bi)=cos \ A \ cosh \ B -sen \ A \ (senh \ B)i \Rightarrow$

$cos(A+Bi)= (cos \ A \ cosh \ B)-(sen \ A \ senh \ B)i$

_*_

Como curiosidade, reparem que o cosseno da unidade imaginária $z=i$ é o número real

$cos \ i=cosh \ 1=\frac{e+e^{-1}}{2}=1,534...>1$

e sugere que todos os arcos cujos módulos dos cossenos e senos sejam $>1$ são números complexos com parte imaginária não-nula.

Imagem: http://geometriacompovray.blogspot.com.br/2011/04/secoes-conicas.html

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