sábado, 17 de novembro de 2012

085-Distância Mínima entre um Ponto e uma Curva

Conforme a fórmula da distância no plano cartesiano entre dois pontos e
,
o quadrado da distância entre o ponto dado e um ponto genérico qualquer da curva gerada pela equação é

 

Queremos encontrar o ponto da curva que seja o mais próximo possível do ponto . Isto ocorrerá quando for mínimo, ou seja, . Assim,

 
 
 

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA  


Como se vê no diagrama a seguir, o ponto da curva é o mais próximo do ponto externo dado , de forma que o segmento representa  a distância mínima entre estes dois pontos. Quando este fenômeno geométrico ocorre,  a reta , tangente à curva no ponto, é perpendicular ao segmento .




Ora, se duas retas têm inclinações de e , a condição de perpendicularismo é a relação  .Como é o coeficiente angular da reta , tangente no ponto e é o coeficiente angular da reta que contêm o segmento , pela relaçao anteriormente calculada



fica registrado o perpendicularismo em questão.


CÁLCULO DA DISTÂNCIA MÍNIMA

A equação da reta tangente ao ponto é ou

 

Conforme a fórmula da distância entre ponto e reta, demonstrada no artigo anterior, concluímos que a distância mínima , entre o ponto e a curva , é fornecida por


No entanto, precisamos saber do valor de . Vejam que ele é a solução da equação


3 comentários:

  1. Olá Aloisio, gostei muito deste post muito bem escrito. Já tinha pensado nisso antes, mas tratei apenas os casos particulares. Novamente, sem intuito algum de ser chato, venho sugerir que coloque uns dois exemplos. Eu fiz aqui a distância mínima do ponto (1,0) a função f(x) = x^2, que leva a resolução de uma equação do terceiro grau do tipo Tartaglia cuja a única solução real é 0.589755. O outro exemplo é interessante pois dá origem a uma equação quadrática, de modo a admitir duas soluções: uma de distância mínima e outra de distância máxima. Este exemplo é achar a distância do ponto (2,2) a função f(x) = 1/x. As respostas são w1 = 1 e w2 = -1. Parabéns por esta postagem.

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  2. Oi, Paulo!

    Para sua primeira questão, encontrei a equação 2w^3+w-1=0 com a solução real que mostrou.

    Mas para o segundo exemplo, surgiu a equação [;w^3-2w^2+2w-1=(w-1)(w^2-w+1)=0;] com a única solução real w=1. Onde me enrolei?

    De modo geral, estou vendo um modo de reduzir o problema ao cálculo da distância do ponto [;(0,0);] à uma curva, por intermédio de uma translação da construção geométrica curva-ponto. Aí a questão se reduz a resolução da equação padrão [;f(w)f'(w)+w=0;]. Se eu ver que este tipo de transformação não resultar em água, farei uma postagem.

    Obrigado pelo seu comentário. É sempre bem-vindo, pois sempre aprendo mais um pouquinho.

    Valeu, um abraço.

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  3. Olá Aloisio, realmente eu fiz rapidamente o cálculo de segundo exemplo e verifiquei que a resolução está errada. Refiz o cálculo novamente e desta vez encontrei uma equação semelhante a sua, porém do quarto grau dada por w^4 - 2w^3 + 2w - 1 = (w - 1)^3(w + 1) = 0, de modo que 1 e -1 são as raízes. Peço para verificar as contas. Ireiu pensar sobre a sua questão da distância do ponto (0,0) a curva. Surgiu outra questão ao qual eu ainda não fiz as contas que é a seguinte: Qual é a curva cuja a equação resultante seja do segundo grau? Valeu, abraços.

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