quinta-feira, 22 de novembro de 2012

087-Estudo da Função f(x) = sen x + cos x

O gráfico da função é parecido com o gráfico das funções componentes e . Mas, parecido não quer dizer semelhante e embora as três funções tenham o mesmo domínio e mesmo período , difere destas outras, ponto à ponto.

Nos concentraremos em  três aspectos de :

A) Imagem

B)  Pontos críticos 

C) Intersecção com os eixos coordenados


A) Imagem

Conjunto-imagem, imagem ou contra-domínio de uma função são os valores em   que a variável dependente   pode assumir.
Tanto a imagem de quanto a imagem de são o intervalo . Já que é a soma destas duas funções, intuitivamente pode-se pensar que sua imagem  é . Ledo engano. Isto só ocorreria se existisse um valor de , tal que . Tal valor não existe porque, quando , temos e vice-versa.
   
Os valores máximo total e mínimo total de uma função periódica são os limites do intervalo que definem a sua imagem. Portanto, temos que calcular o máximo e mínimo totais de.

Como nestes pontos a derivada se anula, inicialmente fazemos

 


e observamos que esta igualdade ocorre nos e quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de cíclicos de ou cíclicos de , ou seja,

 

ou




 Logo, o valor máximo e mínimo totais de são, respectivamente e , de forma que a imagem desta função é




B) Pontos Críticos

Conforme vimos, os pontos máximos da função são os pontos da forma  , onde

,  para ;

, para

e os pontos mínimos são os pontos da forma 

,  para ;

, para  

Mesclando e ordenando estes valores, as abcissas dos máximos e mínimos da função se revezam em


sendo que, nessa mostragem, inicia-se com a abcissa do ponto mínimo e termina com a abcissa do ponto máximo.

Calculando as abcissas e ordenadas dos pontos críticos em números decimais, por exemplo, e , chegamos aos seguintes valores:


 
 
 
 
 
 



Confiram este resultado, assim como todos os posteriores, arrastando a bolinha azul com a seta do mouse no gráfico do google neste link:  GRÁFICO DE f(x)=sen x + cos x .
C) Intersecção com os Eixos Coordenados

A intersecção da função com o eixo ocorre quando . Logo,   indica que é o ponto de intersecção.

Já a intersecção de com o eixo implica em calcular os zeros de , o que é o mesmo que resolver a equação





e observamos que esta igualdade ocorre nos e quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de cíclicos de ou cíclicos de , ou seja,




 

ou

 

 


Agora vejam, ainda no ciclo trigonométrico que, da raiz para a raiz , temos um intervalo angular de , tanto no sentido horário quanto no anti-horário. Logo, o conjunto-solução da equação   é


 

  

( valores aproximados )

Já temos bastante informação sobre a função de forma que, ao esboçar seu gráfico com os dados conseguidos, perceberemos nitidamente quais os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como os intervalos onde a função é positiva ou negativa. Vejam:



_*_

Em um futuro artigo, estudaremos a função . Vejam um  leve esboço do seu gráfico (proposta convertida em um estudo genérico para potências ímpares no post 099 ):



Gostará de ler também:

028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)


Referência bibliográfica:

-Fundamentos de Matemática Elementar V1-Conjuntos-Funções, Atual Editora, ;
-Fundamentos de Matemática Elementar V4-Trigonometria, Atual Editora, .





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