ELEMENTOS: 087-Estudo da Função f(x) = sen x + cos x

O gráfico da função $f(x)=sen \ x+cos \ x$ é parecido com o gráfico das funções componentes $g(x)=sen \ x$ e $h(x)=cos \ x$ . Mas, parecido não quer dizer semelhante e embora as três funções tenham o mesmo domínio $D=\mathbb{R}$ e mesmo período $p=2\pi$ , $f(x)$ difere destas outras, ponto à ponto.

Nos concentraremos em três aspectos de $f(x)$ :

A) Imagem

B) Pontos críticos

C) Intersecção com os eixos coordenados

A) Imagem

Conjunto-imagem, imagem ou contra-domínio de uma função são os valores em $\mathbb{R}$ que a variável dependente $y=f(x)$ pode assumir.

Tanto a imagem de $g(x)=sen \ x$ quanto a imagem de $h(x)=cos \ x$ são o intervalo $[-1,1]$ . Já que $f(x)=sen \ x+cos \ x$ é a soma destas duas funções, intuitivamente pode-se pensar que sua imagem é $[-2,2]$ . Ledo engano. Isto só ocorreria se existisse um valor de $x$ , tal que $sen \ x=cos \ x=1$ . Tal valor não existe porque, quando $sen \ x =1$ , temos $cos \ x =0$ e vice-versa.

Os valores máximo total e mínimo total de uma função periódica são os limites do intervalo que definem a sua imagem. Portanto, temos que calcular o máximo e mínimo totais de $f(x)=sen \ x+cos \ x$ .

Como nestes pontos a derivada se anula, inicialmente fazemos

$f^{'}(x)=cos \ x-sen \ x=0 \Rightarrow$

$cos \ x = sen \ x$

e observamos que esta igualdade ocorre nos $1^o$ e $3^o$ quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de $x$ cíclicos de $\frac{\pi}{4}$ ou cíclicos de $\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ , ou seja,

$sen \ \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)=cos \ \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)=+\frac{\sqrt{2}}{2}$

ou

$sen \ \left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)=cos \ \left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Logo, o valor máximo e mínimo totais de $f(x)=sen \ x+cos \ x$ são, respectivamente $+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$ e $-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2$ , de forma que a imagem desta função é

$[-\sqrt{2},+\sqrt{2}]$

B) Pontos Críticos

Conforme vimos, os pontos máximos da função são os pontos da forma $(x_V,+\sqrt{2})$ , onde

$x_V=+\frac{\pi}{4}, \ +\frac{9\pi}{4}, \ +\frac{17\pi}{4},...,\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)$ , para $k\geq 0$ ;

$x_V=-\frac{7\pi}{4}, \ -\frac{15\pi}{4}, \ -\frac{23\pi}{4},...,\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)$ , para $k<0$

e os pontos mínimos são os pontos da forma $(x_v,-\sqrt{2})$

$x_v=+\frac{5\pi}{4}, \ +\frac{13\pi}{4}, \ +\frac{21\pi}{4},...,\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)$ , para $k\geq 0$ ;

$x_v=-\frac{3\pi}{4}, \ -\frac{11\pi}{4}, \ -\frac{19\pi}{4},...,\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)$ , para $k<0$

Mesclando e ordenando estes valores, as abcissas dos máximos e mínimos da função $f(x)=sen \ x+cos \ x$ se revezam em

$...,-\frac{11\pi}{4},-\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}, +\frac{5\pi}{4}, +\frac{9\pi}{4},...$

sendo que, nessa mostragem, inicia-se com a abcissa do ponto mínimo e termina com a abcissa do ponto máximo.

Calculando as abcissas e ordenadas dos pontos críticos em números decimais, por exemplo, $x_v=-\frac{11\pi}{4}=-8,639...$ e $y_v=-1,414...$ , chegamos aos seguintes valores:

$...............................$

$(+7,068...;+1,414...)$

$(+3,926...;-1,414...)$

$(+0,785...;+1,414...)$

$(-2,356...;-1,414...)$

$(-5,497...;+1,414...)$

$(-8,639...;-1,414...)$

$...............................$

Confiram este resultado, assim como todos os posteriores, arrastando a bolinha azul com a seta do mouse no gráfico do google neste link: GRÁFICO DE f(x)=sen x + cos x .

C) Intersecção com os Eixos Coordenados

A intersecção da função $f(x)$ com o eixo $Oy$ ocorre quando $x=0$ . Logo, $f(0)=sen \ 0+ cos \ 0= 1$ indica que $(0,1)$ é o ponto de intersecção.

Já a intersecção de $f(x)$ com o eixo $Ox$ implica em calcular os zeros de $f(x)=sen \ x+cos \ x$ , o que é o mesmo que resolver a equação

$sen \ x+cos \ x=0 \Rightarrow$

$sen \ x=-cos \ x$

e observamos que esta igualdade ocorre nos $2^o$ e $4^o$ quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de $x$ cíclicos de $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ ou cíclicos de $\2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$ , ou seja,

$sen\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)=-cos\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\Rightarrow$

$+\frac{\sqrt{2}}{2}=-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$sen \left(\frac{7\pi}{4}+2k\pi\right)=-cos \left(\frac{7\pi}{4}+2k\pi\right)\Rightarrow$

$\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\left(+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Agora vejam, ainda no ciclo trigonométrico que, da raiz $x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$ para a raiz $x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi$ , temos um intervalo angular de $\pi$ , tanto no sentido horário quanto no anti-horário. Logo, o conjunto-solução da equação $f(x)=sen \ x+cos \ x=0$ é

$S=\left \{ x \in \mathbb{R}, \ k \in Z \ / \ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi \right \} \Rightarrow$

$S=\left \{ ...,-\frac{9\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{\pi}{4},+\frac{3\pi}{4},+\frac{7\pi}{4},+\frac{11\pi}{4},...\right \}\Rightarrow$

$S=\left \{...;-7,068,-3,926,-0,785,+2,356,+5,497,+8,639;... \right \}$

( valores aproximados )

Já temos bastante informação sobre a função $f(x)=sen \ x+cos \ x$ de forma que, ao esboçar seu gráfico com os dados conseguidos, perceberemos nitidamente quais os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como os intervalos onde a função é positiva ou negativa. Vejam:

_*_

Em um futuro artigo, estudaremos a função $f(x)=sen^3 \ x+cos^3 \ x$ . Vejam um leve esboço do seu gráfico (proposta convertida em um estudo genérico para potências ímpares no post 099 ):

Gostará de ler também:

028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)

Referência bibliográfica:

-Fundamentos de Matemática Elementar V1-Conjuntos-Funções, Atual Editora, $1994$ ;
-Fundamentos de Matemática Elementar V4-Trigonometria, Atual Editora, $1994$ .

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quinta-feira, 22 de novembro de 2012

087-Estudo da Função f(x) = sen x + cos x

4 comentários:

V.O