O gráfico da função é parecido com o gráfico das funções componentes e . Mas, parecido não quer dizer semelhante e embora as três funções tenham o mesmo domínio e mesmo período , difere destas outras, ponto à ponto.
Nos concentraremos em três aspectos de :
Nos concentraremos em três aspectos de :
A) Imagem
B) Pontos críticos
C) Intersecção com os eixos coordenados
A) Imagem
Conjunto-imagem, imagem ou contra-domínio de uma função são os valores em que a variável dependente pode assumir.
Tanto a imagem de quanto a imagem de são o intervalo . Já que é a soma destas duas funções, intuitivamente pode-se pensar que sua imagem é . Ledo engano. Isto só ocorreria se existisse um valor de , tal que . Tal valor não existe porque, quando , temos e vice-versa.
Os valores máximo total e mínimo total de uma função periódica são os limites do intervalo que definem a sua imagem. Portanto, temos que calcular o máximo e mínimo totais de.
Como nestes pontos a derivada se anula, inicialmente fazemos
Como nestes pontos a derivada se anula, inicialmente fazemos
e observamos que esta igualdade ocorre nos e quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de cíclicos de ou cíclicos de , ou seja,
ou
Logo, o valor máximo e mínimo totais de são, respectivamente e , de forma que a imagem desta função é
B) Pontos Críticos
Conforme vimos, os pontos máximos da função são os pontos da forma , onde
, para ;
, para
e os pontos mínimos são os pontos da forma
, para ;
, para
Mesclando e ordenando estes valores, as abcissas dos máximos e mínimos da função se revezam em
sendo que, nessa mostragem, inicia-se com a abcissa do ponto mínimo e termina com a abcissa do ponto máximo.
Calculando as abcissas e ordenadas dos pontos críticos em números decimais, por exemplo, e , chegamos aos seguintes valores:
Confiram este resultado, assim como todos os posteriores, arrastando a bolinha azul com a seta do mouse no gráfico do google neste link: GRÁFICO DE f(x)=sen x + cos x .
C) Intersecção com os Eixos Coordenados
A intersecção da função com o eixo ocorre quando . Logo, indica que é o ponto de intersecção.
Já a intersecção de com o eixo implica em calcular os zeros de , o que é o mesmo que resolver a equação
e observamos que esta igualdade ocorre nos e quadrantes do ciclo trigonométrico para valores de cíclicos de ou cíclicos de , ou seja,
Agora vejam, ainda no ciclo trigonométrico que, da raiz para a raiz , temos um intervalo angular de , tanto no sentido horário quanto no anti-horário. Logo, o conjunto-solução da equação é
ou
Agora vejam, ainda no ciclo trigonométrico que, da raiz para a raiz , temos um intervalo angular de , tanto no sentido horário quanto no anti-horário. Logo, o conjunto-solução da equação é
( valores aproximados )
Gostará de ler também:
028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)
Referência bibliográfica:
-Fundamentos de Matemática Elementar V1-Conjuntos-Funções, Atual Editora, ;
-Fundamentos de Matemática Elementar V4-Trigonometria, Atual Editora, .
Já temos bastante informação sobre a função de forma que, ao esboçar seu gráfico com os dados conseguidos, perceberemos nitidamente quais os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como os intervalos onde a função é positiva ou negativa. Vejam:
_*_
Em um futuro artigo, estudaremos a função . Vejam um leve esboço do seu gráfico (proposta convertida em um estudo genérico para potências ímpares no post 099 ):
Gostará de ler também:
028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)
Referência bibliográfica:
-Fundamentos de Matemática Elementar V1-Conjuntos-Funções, Atual Editora, ;
-Fundamentos de Matemática Elementar V4-Trigonometria, Atual Editora, .
E como ficaria f(x) = [sen(x) + 1][cos(x) + 1]?
ResponderExcluirMuito bom, esse blog! rsrs
ResponderExcluirAmeii
ResponderExcluirGostaria de uma ideia para contextualizar essa aplicação para uma turma da segunda série do ensino médio.
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