ELEMENTOS: 088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3 )

Ref: [ 089-Equações Recíprocas ( Parte 2/3 )]

[ 090-Equações Recíprocas ( Parte 3/3 ) ]

Definição

Dado o polinômio de coeficientes reais $P(x)=A_0x^m+A_1x^{m-1}...+A_{m-1}x+A_m$ , com $A_0,A_m \neq 0$ , $m\geq 2$ e ainda

$r \in \mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}$

$p \in \left \{ 1,2,... \right \}$

A equação polinomial $P(x)=0$ é recíproca se a mesma admite apenas raizes dos tipos $r$ e $1/r$ , ambas com o mesmo grau de multiplicidade $p$ (repetições).

Exemplos

A equação quadrática

$7x^2-50x+7=0$

é recíproca porque suas raízes $x_1=7$ e $x_2=1/7$ são recíprocas ou inversas.

A equação cúbica

$6x^3-19x^2+19x-6=0$

também é recíproca, porque duas de suas raízes $x_1=2/3$ , $x_2=3/2$ são recíprocas, sendo que a terceira raiz $x_3=1$ assume individualmente a forma inversa $x_3=1/1$ .

$\rightarrow$ Segue que toda equação recíproca de grau ímpar, ou seja, com um número ímpar de raízes, admite a raiz $x=\pm1$ . Justificativa: a única raiz $r$ , sem o correspondente recíproco, é tal que

$r=\frac{1}{r} \Rightarrow r^2=1 \Rightarrow r=\pm1$

A equação de $12^o$ grau (fatorada)

$\left(x-\frac{11}{17} \right ).\left(x-\frac{11}{17} \right ).\left(x-\frac{11}{17} \right ).\left(x-\frac{17}{11} \right ).\left(x-\frac{17}{11} \right ).\left(x-\frac{17}{11} \right ).$

$.(x-3)\right ).\left(x-\frac{1}{3} \right ).(x+12).(x+12).\left(x+\frac{1}{12} \right ).\left(x+\frac{1}{12} \right )=0$

é outro exemplo de equação recíproca, porque, conforme a definição,

possui as raízes recíprocas $x_1=11/17$ e $x_2=17/11$ , com mesma multiplicidade $p=3$ ;

possui as raízes inversas $x_3=3$ e $x_4=1/3$ , com mesma multiplicidade $p=1$ ; e

possui as raízes recíprocas $x=-12$ e $x_6=-1/12$ , com mesma multiplicidade $p=2$ .

Condições para que uma equação polinomial seja recíproca

Teorema. Se uma equação polinomial é recíproca, então os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são

a) iguais - equações recíprocas de primeira classe

Exemplos

$3x^5+4x^4-11x^3-11x^2+4x+3=0$

$7x^6-2x^5+3x^4+8x^3+3x^2-2x+7=0$

b) ou simétricos-equações recíprocas de segunda classe.

Exemplos

$9x^5-2x^4+8x^3-8x^2+2x-9=0$

$6x^6+17x^5+5x^4-5x^2-17x-6=0$

$\rightarrow$ Segue que toda equação recíproca de segunda classe e de grau par é desprovida do termo médio. No nosso último exemplo, observem que não existe o termo cúbico.

Demonstração ( teorema ). Considere uma equação polinomial qualquer, com $A_0,A_m \neq0$ :

$P(x)=A_0x^m+A_1x^{m-1}...+A_{m-1}x+A_m$ $=0$ (1)

Fazendo a transformação $x=\frac{1}{y}$ (transformada em raízes inversas ), obtemos

$P\left(\frac{1}{y}\right)=A_0\left(\frac{1}{y}\right)^m+A_1\left(\frac{1}{y}\right)^{m-1}+...+A_{m-1}\left(\frac{1}{y}\right)+A_m=0 \Rightarrow$

$G(y)=A_my^m+A_{m-1}y^{m-1}+...+A_1y+A_0=0$ (2)

ou seja, para obter a transformada em raízes inversas de (1), basta apenas inverter a ordem dos coeficientes da equação original e colocá-las nas potências da nova variável $y$ .

Enquanto as raízes de (1) são $S_1=\left \{ x_1,x_2,...,x_m \right \}$ , as raízes de (2) são

$S_2=\left \{ y_1=\frac{1}{x_1},y_2=\frac{1}{x_2},...,y_m=\frac{1}{x_m} \right \}$

Mas, se a equação (1) for recíproca, suas raízes serão da forma

$S_1=\left \{ u_1,u_2,...,u_m,\frac{1}{u_1},\frac{1}{u_2},...,\frac{1}{u_m} \right \}$

enquanto as raízes da transformada (2) serão

$S_2=\left \{ \frac{1}{u_1},\frac{1}{u_2},...,\frac{1}{u_m}, u_1,u_2,...,u_m \right \}$

Ora, isto implica que $S_1=S_2$ . Desta forma, uma transformação do tipo $x=\frac{1}{y}$ em uma equação recíproca não chega a alterá-la, pois a mesma permanecerá equivalente (mesmas raízes ) à equação original.

Sabemos que equações polinomiais equivalentes são da forma $P(x)=0$ e $k.P(x)=0$ , com $k\neq0$ . Logo, sendo (1) recíproca, temos que os coeficientes de (2) diferem dos coeficientes de (1) apenas por um valor constante não-nulo $k$ . Assim,

$A_0=kA_m$

$A_1=kA_{m-1}$

.............................

$A_{m-1}=kA_1$

$A_m=kA_0$

Substituindo a última igualdade na primeira, temos $A_0=k^2A_0 \Rightarrow k=\pm1$ .

Portanto, em uma equação recíproca, os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são iguais ou simétricos, o que queríamos provar.

Se $k=1$ , as equações recíprocas são de primeira classe;

Se $k=-1$ , as equações recíprocas são de segunda classe.

Corolário. Vamos ver agora uma prova simples de que a equação recíproca de segunda classe e grau par é desprovida do termo médio

Se a equação recíproca é de grau par, ou seja, $m=2h$ , haverá um termo central de coeficiente $A_h$ . Assim pelo teorema, temos $A_h=\pm A_{m-h}$ . Mas como o termo é central, $A_h=A_{m-h} \Rightarrow A_h=\pm A_h$ . Sendo $k=-1$ (segunda classe), esta igualdade fica $A_h=-A_h \Rightarrow A_h=0$ .

Referência bibliográfica:

Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.

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domingo, 25 de novembro de 2012

088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3 )

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V.O