domingo, 25 de novembro de 2012

088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3 )


Dado o polinômio de coeficientes reais, com ,e ainda
 
A equação polinomial é recíproca se a mesma admite apenas raizes dos tipos e , ambas com o mesmo grau de multiplicidade (repetições).


Exemplos

 A equação  quadrática

 

é recíproca porque suas raízes e são recíprocas ou inversas.



 
A equação cúbica

 
 também é recíproca, porque duas de suas raízes , são recíprocas, sendo que a terceira raiz assume individualmente a forma inversa .
Segue que toda equação recíproca de grau ímpar, ou seja, com um número ímpar de raízes, admite a raiz . Justificativaa única raiz , sem o correspondente recíproco, é  tal que 
 
 



 A equação de grau  (fatorada)


é outro exemplo de equação recíproca, porque, conforme a definição,

possui as raízes recíprocas e , com mesma multiplicidade ;
possui as raízes inversas e , com mesma multiplicidade ; e

possui as raízes recíprocas e , com mesma multiplicidade .


Condições para que uma equação polinomial seja recíproca


Teorema. Se uma equação polinomial é recíproca, então os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são

a) iguais - equações recíprocas de primeira classe

Exemplos

 

b) ou simétricos-equações recíprocas de segunda classe.

Exemplos 


Segue que toda equação recíproca de segunda classe e de grau par é desprovida do termo médio. No nosso último exemplo, observem que não existe o termo cúbico.


Demonstração ( teorema ). Considere uma equação polinomial qualquer, com :

(1) 

Fazendo a transformação (transformada em raízes inversas ), obtemos




  (2)  


ou seja, para obter a transformada em raízes inversas de (1), basta apenas inverter a ordem dos coeficientes da equação original e colocá-las nas potências da nova variável .

Enquanto as raízes de (1)  são , as raízes de (2) são





 Mas, se a equação (1) for recíproca, suas raízes serão da forma





enquanto  as raízes da transformada (2) serão


 
Ora, isto implica que . Desta forma, uma transformação do tipo  em uma equação recíproca não chega a alterá-la, pois a mesma permanecerá equivalente (mesmas raízes ) à equação original.

Sabemos que equações polinomiais equivalentes são da forma e , com . Logo, sendo (1) recíproca, temos que os coeficientes de (2) diferem dos coeficientes de (1) apenas por um valor constante não-nulo . Assim,

 
.............................

 
Substituindo  a última igualdade na primeira, temos .

Portanto, em uma equação recíproca, os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são iguais ou simétricos, o que queríamos provar.

Se ,  as equações recíprocas são de primeira classe;
Se, as equações recíprocas são de segunda classe.


Corolário. Vamos ver agora uma prova simples de que a equação recíproca de segunda classe e grau par é desprovida do termo médio 

 Se a equação recíproca é de grau par, ou seja, , haverá um termo central  de coeficiente . Assim pelo teorema, temos . Mas como o termo é central, . Sendo (segunda classe), esta igualdade fica .



Referência bibliográfica:

Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.







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