ELEMENTOS: 089-Equações Recíprocas ( Parte 2/3 )

Ref: [ 088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3) ]

[090-Equações Recíprocas ( Parte 3/3 )]

Forma Normal de uma Equação Recíproca

A equação recíproca de grau par e de primeira classe

$A_0x^{2h}+A_1x^{2h-1}+...+A_1x+A_0=0$

a que se pode reduzir a resolução de todas as outras, chama-se forma normal de uma equação recíproca.

Portanto, são redutíveis à forma normal as seguintes equações recíprocas:

$1^o$ Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe;

$2^o$ Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe;
$3^o$ Caso: Equação de grau par e de segunda classe.

esgotando, assim, todas as possibilidades.

Redução à Forma Normal

$1^o$ Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe

Para reduzir uma equação $P(x)=0$ de primeira classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se $P(x)$ por $x+1$ .

Demonstração. Neste caso, temos

$P(x)=A_0x^{2m+1}+A_1x^{2m}+...+A_1x+A_0=0$

Sendo esta equação de grau ímpar, a mesma tem uma quantidade par de termos. Os termos equidistantes dos extremos correspondem-se dois a dois. Por definição, em uma equação recíproca de primeira classe, estes termos correspondentes são iguais. Logo, $x=-1$ é raiz porque em $P(-1)$ os termos de grau ímpar trocam de sinal e os de grau par conservam o sinal, ocorrendo o anulamento entre estes termos.

Segue que $P(x)$ é divisível por $x+1$ e o polinômio quociente $Q(x)$ desta divisão, quando considerado como equação, conterá as raízes recíprocas restantes, conforme a seguir.

$Q(x)=\frac{P(x)}{x+1}\Rightarrow P(x)=(x+1)Q(x)$

$P(x)=0 \Rightarrow x=-1$ ou $Q(x)=0$

Sabemos que $Q(x)=0$ tem grau par e é recíproca. Como saberemos que esta equação é de primeira classe? Basta analisar o primeiro coeficiente $B_0$ e o termo independente $B_p= \pm B_0$ de $Q(x)=0$ . No produto $P(x)=(x+1)Q(x)$ é fácil perceber que o coeficiente do termo de maior grau de $Q(x)$ é igual ao coeficiente do termo de maior grau de $P(x)$ ou seja, $B_0=A_0$ . Já o termo independente $B_p= \pm B_0$ de $Q(x)$ é $Q(0)$ , veja:

$Q(x)=\frac{P(x)}{x+1} \Rightarrow B_p=Q(0)=\frac{P(0)}{0+1}=A_0$

Logo, $B_p=A_0=B_0$ e concluímos que a equação de grau par $Q(x)=0$ é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.

EXEMPLOS

$\frac{13x^3-157x^2-157x+13}{x+1}=0 \Rightarrow 13x^2-170x+13=0$

$\frac{6x^5-29x^4+27x^3+27x^2-29x+6}{x+1}=0 \Rightarrow$

$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$

$2^o$ Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe

Para reduzir uma equação $P(x)=0$ de segunda classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se $P(x)$ por $x-1$ .

Demonstração. Neste caso, temos

$P(x)=A_0x^{2m+1}+A_1x^{2m}+A_2x^{2m-2}...-A_2x^2-A_1x-A_0=0$

Aqui também temos uma quantidade par de termos. Mas desta vez, os termos equidistantes dos extremos são simétricos. É claro que $x=1$ é uma raiz. Portanto, com um raciocínio similar a seção anterior, temos que $P(x)$ é divisível por $x-1$ e o quociente $Q(x)$ será de grau par contendo as raízes recíprocas restantes.

No produto $P(x)=(x-1)Q(x)$ percebemos que o coeficiente do termo de maior grau de $Q(x)$ é igual ao coeficiente do termo de maior grau de $P(x)$ ou seja, $B_0=A_0$ . Sendo que o termo independente $B_p=\pm B_0$ de $Q(x)$ é $Q(0)$ :

$Q(x)=\frac{P(x)}{x-1} \Rightarrow B_p=Q(0)=\frac{P(0)}{0-1}=\frac{-A_0}{-1}=A_0$

Logo, $B_p=A_0=B_0$ e concluímos que a equação de grau par $Q(x)=0$ é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.

EXEMPLOS

$\frac{6x^5-x^4-43x^3+43x^2+x-6}{x-1}=0 \Rightarrow$

$6x^4+5x^4-38x^2+5x+6=0$

$\frac{36x^7-189x^6-139x^5+1686x^4-1686x^3+139x^2+189x-36}{x-1}=0 \Rightarrow$

$36x^6-153x^5-292x^4+1394x^3-292x^2-153x+36=0$

$3^o$ Caso: Equação de grau par e de segunda classe

Para reduzir uma equação $P(x)=0$ de segunda classe e de grau par à forma normal, divide-se $P(x)$ por $x-1$ e por $x+1$ .

Demonstração. Neste caso, temos

$P(x)=A_0x^{2m}+A_1x^{2m-1}+A_2x^{2m-2}+...-A_2x^2-A_1x-A_0=0$

Conforme foi provado no artigo anterior, este tipo de equação é desprovido do termo central. Então, novamente, temos uma equação recíproca com uma quantidade par de termos. Como os termos equidistantes dos extremos são simétricos, $x=1$ é uma raiz e $P(x)$ é divisível por $x-1$ . Mas então, teríamos como quociente um polinômio $Q(x)$ , de forma que $Q(x)=0$ é uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe. Então recaímos no $1^0$ caso, no qual teremos que dividir $Q(x)=0$ por $x+1$ para obtermos, como resultado, uma equação $Q^{'}(x)=0$ de grau par e de primeira classe e, portanto, da forma normal.

EXEMPLO

Vamos reduzir à forma normal a equação recíproca de grau par e de segunda classe

$14x^6-65x^5-236x^4+236x^2+65x-14=0$

Dividindo por $x-1$ , temos

$\frac{14x^6-65x^5-236x^4+236x^2+65x-14}{x-1}=0 \Rightarrow$

$14x^5-51x^4-287x^3-287x^2-51x+14=0$

ou seja, uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe ( $1^o$ Caso). Finalmente, dividindo por $x+1$ , obtemos

$\frac{14x^5-51x^4-287x^3-287x^2-51x+14}{x+1}=0 \Rightarrow$

$14x^4-65x^3-222x^2-65x+14=0$

que é uma equação recíproca de grau par e de primeira classe ( forma normal ).

Considerações Finais

Conforme vimos neste artigo, qualquer equação recíproca pode ser reduzida à forma normal. Portanto, para resolvê-las, é necessário apenas saber solucionar as equações recíprocas de grau par e de primeira classe.

No próximo e último artigo desta série, nos concentraremos apenas na resolução de equações recíprocas simplificadas na forma normal.

Referência bibliográfica:

Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.

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quarta-feira, 28 de novembro de 2012

089-Equações Recíprocas ( Parte 2/3 )

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V.O