domingo, 2 de dezembro de 2012

092-Disquisitiones Arithmeticae de Gauss


Aos anos, o matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss conseguiu reparar uma falha de referência bibliográfica que percebera anos antes. Aconteceu que, antes da publicação de seu tratado sobre  teoria dos números, esta disciplina eram apenas resultados isolados mal sintonizados e a notação empregada nestes fragmentos deixava bastante a desejar.



O jovem Gauss

A unificação se deu com surgimento de uma obra que é considerada um marco, a Disquisitiones Arithmeticae ( Investigações da Aritmética ), de Gauss, onde o mesmo inovou e introduziu a teoria das congruências ou aritmética modular, com sua notação de equivalência . De acordo com  o matemático Leopol Kronecker, "é realmente impressionante pensar que um único homem tão jovem foi capaz de tratar tão profundamente e de forma bem organizada, uma disciplina totalmente nova". Dedicou esta publicação ao seu patrono, o Duque de Brunswick.

Gauss tinha notado que os teoremas mais profundos da teoria dos números dependiam de operações envolvendo números inteiros que tinham em comum o fato de que deixavam o mesmo resto em uma divisão por um mesmo número . Na sua visão, os números relacionados desta forma  mereciam um tratamento sistematizado. Chamando o divisor de módulo ( ), representou esta relação como

Lê-se: é congruente módulo à , etc   


Com este novo conceito, demonstrou em sua Disquisitiones, de forma econômica e elegante, antigos teoremas e conjecturas e ainda, descobriu novos teoremas e corolários fazendo a exposição de suas respectivas demonstrações.

Em um patamar de tão alto poder resolutivo, Gauss foi indagado na época porque não tentava resolver o último teorema de Fermat. Não se sabe se tentou resolver, de modo secreto, mas sua resposta pública foi:  "Confesso que o último teorema de Fermat, como proposição isolada, tem muito pouco interesse para mim, já que eu facilmente poderia fazer uma multidão de tais proposições que ninguém poderia provar ou utilizar". É uma pena que o último teorema de Fermat não tenha, supostamente, passado pelo crivo do gigante alemão...

Um dos teoremas contidos nas Disquisitiones tinha sido incompletamente demonstrado dois anos antes pelo renomado matemático francês Adrien-Marie Legendre . É a lei da da reciprocidade quadrática. Gauss chamou esta lei de theorema aureum  e a ele dedicou uma seção inteira do seu livro na qual expôs sua demonstração conclusiva.


As Disquisitiones, por ter sido um trabalho com um novo conceito e notação e, portanto, uma obra com um desenvolvimento obscuro, foi na época compreendida por poucos matemáticos, mas um deles fora um seguidor fervoroso: o matemático alemão Gustav Lejeune Dirichlet .

Conforme Kummer observou, "Dirichlet não estava satisfeito em estudar as Disquisitiones de Gauss uma vez ou várias vezes, mas por toda a sua vida conservou um contato próximo com a riqueza de pensamentos matemáticos profundos que ele continha, estudando-o sempre". De fato, Dirichlet foi o primeiro que não somente entendeu completamente esta obra mas que também a tornou acessível aos outros.
Dirichlet forneceu uma prova para o último teorema de Fermat para .

O leitores que desejarem folhear, de capa a capa, as Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss, cliquem neste link: http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/1254649 . Informo que a obra foi escrita originalmente em latim. Obs: neste site, verifiquem que o índice do livro situa-se nos números [17] a [22] da barra de rolagem e a teoria do mesmo inicia-se no número [23].


Gostará de ler também:

048-Fundamentos de Congruência Modular 
046-Critérios de Divisibilidade
055-Cálculo de Resto sem Dividir
047-Teoremas de Euler e Fermat
049-Equação de Congruência Linear
050-Equação de Congruência Polinomial
051-Teorema de Wilson-II


 Referência Bibliográfica:

-O Livro da Matemática, Clifford A. Pickover, Ed.Librero, 2009;
- Cálculo com Geometria Analítica, Volume [;I;], Simmons, Editora McGraw-Hill, 1987 ;
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, 1997;
-História da Matemática de Carl.B.Boyer, Editora Edigard Blücher LTDA, 1974. 


Imagens

http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/1254649
http://peciscas.blogspot.com.br/2006/05/histrias-da-matemtica-2.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet





7 comentários:

  1. É inegável que Gauss foi um gênio, e ele demonstrou isso em diferentes momentos de sua vida. São incontáveis suas contribuições em diversos ramos da matemática. Pessoalmente, acho a 'lei de Gauss' uma das equações mais charmosas e poderosas que existem. Enfim, uma mente admirável.

    (Aloisio, não tive muito tempo para trabalhar no texto que me comprometi a envia-lo. Acho que durante essa semana ficará mais tranquilo para que eu faça isso, e tão logo te enviarei.)

    Grande abraço!

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    1. Oi, Diogo!

      Gauss foi um privilegiado de poder se dedicar de corpo e alma ao seu maior talento: a matemática. Graças ao Duque de Brunswick que o patrocinou desde criança.

      Curiosamente Gauss nunca saiu da Alemanha nem para visitar outros países.

      Relativo ao seu texto, pode ficar tranquilo. Fique a vontade para incluir em seus projetos para este ou o outro ano, ok? Mas lembre-se que não está escrevendo para mim e sim para os leitores de Elementos.

      Outro grande abraço!

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  2. Gauss foi o maior matemático que já andou sobre a Terra. Para Eric Bell, ele integrava um triunvirato supremo juntamente com Arquimedes e Newton. Contudo, com o devido respeito à genialidade do grego e do britânico, a obra de Gauss (composta pelo que ele escreveu e pelo que somente rascunhou e não quis publicar) representa a contribuição mais significativa para a ciência matemática que um só homem já produziu.

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  3. Oi, Anônimo,

    Realmente certos representantes da raça humana nasceram para fazer uma grande diferença.

    Obrigado pelo comentário

    Até mais.

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  4. O peso em quilates dos cérebros de Gauss(1777-1855) e de Dirichlet(1805-1859)são tão valiosos para a Matemática, que estão preservados para posteridade no Departamento de Fisiologia da Universidade de Göttingen-Alemanha.A genialidade Gaussiana é inquestionável na Matemática, sendo que Dirichlet além de ter sido seu aluno em Göttingen, foi seu fiel interlocutor e tradutor em suas palestras proferidas em universidades.

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  5. Oi, Paulo Magalhães!

    Não sabia desta informação e obrigado por complementar meu post com elas, nos comentários.

    Creio que, o que faz um gênio é a soma de talento+amor profundo+dedicação férrea=grande produção em qualidade e quantidade.

    Valeu!!

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  6. Boa noite! Aloísio
    Os gênios na História da Matemática sempre fizeram uma grande diferença e fazem, porque introspectivamente penetram profundamente em questões da Matemática, enxergando sempre algo a mais, que um ser humano, com desenvolvimento intelectual normal não enxerga.
    Concordo plenamente com você na sua maneira racional de definir genialidade.
    A informação no comentário que fiz ao seu post pode ser encontrada na bibliografia Introdução à História da Matemática-Howard Eves,com publicação traduzida pela Editora da UNICAMP.

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