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Cardano não foi solucionador de nenhuma destas equações. No entanto, a solução da cúbica é hoje em dia comumente chamada de fórmula de Cardano. As vezes, também é chamada de fórmula de Cardano-Tartaglia, homenageando o publicador e o descobridor. Já a solução da quártica é chamado acertadamente de método de Ferrari.
Tartaglia Ferrari
O italiano Nicoló Fontana "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
ou Tartaglia (gago) foi um desafortunado na infância, um gênio competidor e azarado na vida adulta. Envolvido em disputas matemáticas com apostas, Tartaglia descobriu a solução da cúbica e isto o levou a ter grande vantagem sobre seus adversários. Teve o desprazer de conhecer Cardano que levava uma vida financeiramente melhor e, portanto, sua única preocupação era com a fama. Através de palavras de convencimento e juras de segredo, Cardano conseguiu a fórmula da cúbica de Tartaglia e esquecendo todas as promessas, a publicou em Ars Magna. No entanto, com créditos a Tartaglia. Mesmo assim, os dois se tornaram inimigos.
Cardano
Tartaglia Ferrari
O italiano Nicoló Fontana
O também italiano Ludovico Ferrari  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
, com condições extremamentes precárias na infância e juventude, este sim teve sorte de conhecer Cardano. O mesmo chamou Ferrari, então com
anos, para trabalhar como servo e logo depois como secretário. O motivo disso é que Cardano tinha notado qualidades naquele jovem, particularmente na matemática. Quando publicou a solução da quártica na Ars Magna, Cardano fez a seguinte referência: " foi inventado por Ludovico Ferrari, ao meu pedido".
Tanto a solução da cúbica quanto da quártica possuem apenas valor histórico porque levam à formatos numéricos desajeitados para o homem prático moderno que dispõe de calculadoras e computadores, onde o método de Newton é de mais agradável utilização, por exemplo. Sendo assim, postarei aqui apenas a estratégia de resolução ( o caminho ) destas equações. Estes são casos interessantes onde o processo tem mais valor que o produto final.
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO CÚBICA COMPLETA
Seja a equação cúbica
Fazendo 
e dividindo ambos os membros da transformada pelo coeficiente de 
, obtemos
Seja agora
, logo
^3%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
+v^3%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
+v^3%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
-(u^3+v^3)=0 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
Comparando com
Comparando com
temos a seguinte equivalência dos coeficientes: 
e 
, de forma que o sistema
é do 
em 
e 
de fácil resolução.
Acha-se 
e 
, segue que e finalmente 
.
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO QUÁRTICA COMPLETA
Seja a equação quártica
Fazendo 
e dividindo ambos os membros da transformada pelo coeficiente de 
, obtemos
Completando o quadrado no primeiro membro,
A técnica do complemento do quadrado é conhecida desde o Antigo Egito. Porém, mesmo sendo necessária, é insuficiente para resolver a quártica. O grande deslumbre de Ferrari foi introduzir uma constante 
inicialmente desconhecida da seguinte forma:
O próximo passo é escolher de forma que o segundo membro também seja um trinômio quadrado perfeito. Isto acontecerá quando o discriminante delta relativo à expressão quadrática em 
do segundo membro for 
. Observem os leitores que este estratagema não é um complemento de quadrado mas sim um ajustamento de coeficientes. Portanto, é necessário que
(k^2+ak+e)=0 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
+k\right]^2=(fx+g)^2%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
+k=fx+g "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
e temos uma equação em , chamada de cúbica resolvente, cuja solução se consegue pela fórmula de Cardano-Tartaglia.
Acha-se , o segundo membro torna-se um quadrado perfeito,
e chegamos à uma equação quadrática em .
Calcula-se e finalmente .
_*_
Em simbologia moderna, podemos perceber com facilidade as belas estratégicas usadas na cúbica e na quártica. Mas Cardano expôs estas soluções na Ars Magna verbalmente, como se fosse uma "receita" ( faça isso, tire aquilo, etc ). Quem quiser conhecer esta obra na íntegra, segue o link: http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/2690143
Gostará de ler também:
078-Fórmulas de Bhaskara e Cardano pelas Relações de Girard-Método de Tavano
090-Equações Recíprocas ( Parte 3/3 )
092-Disquisitiones Arithmeticae de Gauss
Referência Bibliográfica:
Imagens:
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, 1997;
-História da Matemática de Carl.B.Boyer, Editora Edigard Blücher LTDA, 1974. Imagens:
http://www.e-rara.ch/
http://www.nndb.com/people/440/000098146/
http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=198
http://gaussianos.com/la-semana-de-la-cubica-la-historia-de-su-resolucion/
Acho que eu e muitos outros que estão na Matemática hoje foram atraídos com um método de resolução da equação do terceiro grau. Li a história no excelente livro O Romance das Equações Algébricas e vi que no mundo da Matemática existe muita inveja, injustiça e roubo de fórmulas. Parabéns pela postagem esclarecedora o qual garanto que irá atrair muitas outras pessoas para a Matemática.
ResponderExcluirOi, Paulo!
ExcluirAs quínticas foram examinadadas com mais ênfase logo após o surgimento de Ars Magna. Acredito que, no percurso até Abel e Galois, muito matemática boa foi produzida.
Um abraço!