Fiz este estudo em
sobre uma questão que me foi proposta por meu sobrinho Hunasses Souza, de Fortaleza / CE.
Considere a seguinte sequência numérica:
Observem que nela existem subsequências do tipo
, onde
, de forma que a cada recontagem de
em
, o número de termos
de
fica acrescido de uma unidade.
Como calcular o enésimo termo de
? Ou melhor, qual a fórmula do termo geral
?
Para responder a esta pergunta, vamos primeiro enumerar as subsequências
de acordo com o seu número de termos, da seguinte forma:
....................................
Assim, a posição
do termo genérico
que finaliza uma subsequência em
, é a soma dos índices de
, ou seja
Logo, dado a posição
de
em
, temos que calcular
por intermédio de (1), que indicará em qual subsequência
estará
.
No entanto, pode acontecer que
(a), no caso de
não finalizar uma subsequência
. Logo,
terá um valor entre o último termo de
e o último termo de
, ou seja,
Suponhamos que que queremos calcular o termo de posição
da sequência
. Começamos indagando sobre o índice
da subsequência
. Para isto, temos que enquadrar
entre os números triangulares 1,3,6 e 10 que representam as somas dos índices de
. Basta resolver a equação
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_n=(n+m)-(N+1))
é fornecido;
; e
, com
No entanto, pode acontecer que
Assim, resolvendo a equação (1) na variável
tendo em vista a condição (a) e sendo
a raiz encontrada, consequentemente,
, de forma que
.
Se
designar a parte inteira de
, então o índice da subsequência
no qual se encontra
será
Veremos agora um exemplo esclarecedor. Observem a seguinte tabela:
cuja solução positiva é, aproximadamente,
. Logo,
e já sabemos que
se encontra na quarta subsequência (
).
Em seguida teremos que encontrar o índice
(última linha da tabela) de
, tendo em vista que
.
Seja
do termo de
correspondente ao último termo da subsequência
, ou seja,
Assim, os quatro termos (
) de
corresponderão aos índices
:
. Portanto,
é referente a
. Logo,
Podemos generalizar da sequinte forma.
O primeiro índice do termo de
que inicia a subsequência que contêm
é
. De fato, pois
;
O número
de termos que vai de
a
é
. Comprove:
;
E o enésimo termo de
é
onde,
Válido caso
não seja um inteiro positivo. Caso seja, vale as fórmulas:
EXEMPLOS
1) Calcular
.
Resolução
2) Calcular
.
Resolução
_*_
Convido os leitores a resolverem os problemas do post 058 .
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Olá Aloisio,
ResponderExcluirAgradeço por comentar esta sequência e colocar meu nome!
Como tinha dito antes para vc em outra ocasião,esta sequencia teve origem em outra.Eu queria achar a formula do termo geral da soma da serie harmônica:1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n.E numa certa oportunidade,transformei esta soma em:1+(1/4+1/4)+(1/9+1/9+1/9)+(1/16+1/16+1/16+1/16)+....+(1/n^2+1/n^2+...+1/n^2).A qtd de termos dentro do parênteses é n.
Então me fiz uma pergunta:É possível simplificar está soma para números mais simples?
Dai surgiu:1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+1/4+1/4+1/4+1/4+....E se nao me falha a memória,a sequencia que vc comentou são restos de certa divisão.
Você lembra de onde vem?Mistério!!kkkk
Abraços.