Fiz este estudo em 
sobre uma questão que me foi proposta por meu sobrinho Hunasses Souza, de Fortaleza / CE.
Considere a seguinte sequência numérica:
Observem que nela existem subsequências do tipo  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
, onde 
, de forma que a cada recontagem de 
em 
, o número de termos 
de fica acrescido de uma unidade.
Como calcular o enésimo termo de ? Ou melhor, qual a fórmula do termo geral 
?
Para responder a esta pergunta, vamos primeiro enumerar as subsequências de acordo com o seu número de termos, da seguinte forma:
....................................
Assim, a posição 
do termo genérico que finaliza uma subsequência em , é a soma dos índices de , ou seja
Logo, dado a posição de em , temos que calcular por intermédio de (1), que indicará em qual subsequência 
estará .
No entanto, pode acontecer que
(a), no caso de não finalizar uma subsequência . Logo, terá um valor entre o último termo de  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
e o último termo de  "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
, ou seja,
Suponhamos que que queremos calcular o termo de posição 
da sequência . Começamos indagando sobre o índice da subsequência . Para isto, temos que enquadrar entre os números triangulares 1,3,6 e 10 que representam as somas dos índices de . Basta resolver a equação
}{2}\Rightarrow%20m^2+m-16=0 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
}{2}=\frac{4(4+1)}{2}=10 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
-1=n-b_1%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
%20\Rightarrow "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
-(N+1) "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
é fornecido;
; e
}{2} "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
, com
}{2}=\frac{6(6+1)}{2}=21 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
-(21+1)=25-22=3 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
No entanto, pode acontecer que
Assim, resolvendo a equação (1) na variável tendo em vista a condição (a) e sendo 
a raiz encontrada, consequentemente, 
, de forma que 
.
Se 
designar a parte inteira de , então o índice da subsequência no qual se encontra será
Veremos agora um exemplo esclarecedor. Observem a seguinte tabela:
cuja solução positiva é, aproximadamente, 
. Logo,
e já sabemos que 
se encontra na quarta subsequência (
).
Em seguida teremos que encontrar o índice 
(última linha da tabela) de , tendo em vista que 
.
Seja 
do termo de correspondente ao último termo da subsequência , ou seja,
Assim, os quatro termos (
) de corresponderão aos índices : 
. Portanto, é referente a 
. Logo,
Podemos generalizar da sequinte forma.
O primeiro índice do termo de que inicia a subsequência que contêm é 
. De fato, pois 
;
O número de termos que vai de 
a é 
. Comprove: 
;
E o enésimo termo de é
onde,
Válido caso 
não seja um inteiro positivo. Caso seja, vale as fórmulas:
EXEMPLOS
1) Calcular 
.
Resolução
2) Calcular 
.
Resolução
_*_
Convido os leitores a resolverem os problemas do post 058 .
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Gostará de ler também:
015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões
Olá Aloisio,
ResponderExcluirAgradeço por comentar esta sequência e colocar meu nome!
Como tinha dito antes para vc em outra ocasião,esta sequencia teve origem em outra.Eu queria achar a formula do termo geral da soma da serie harmônica:1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n.E numa certa oportunidade,transformei esta soma em:1+(1/4+1/4)+(1/9+1/9+1/9)+(1/16+1/16+1/16+1/16)+....+(1/n^2+1/n^2+...+1/n^2).A qtd de termos dentro do parênteses é n.
Então me fiz uma pergunta:É possível simplificar está soma para números mais simples?
Dai surgiu:1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+1/4+1/4+1/4+1/4+....E se nao me falha a memória,a sequencia que vc comentou são restos de certa divisão.
Você lembra de onde vem?Mistério!!kkkk
Abraços.