quarta-feira, 12 de dezembro de 2012

096-Sequência H

Fiz este estudo em sobre uma questão que me foi proposta por meu sobrinho Hunasses Souza, de Fortaleza / CE.  

Considere a seguinte sequência numérica:

Observem que nela existem subsequências do tipo , onde , de forma que a cada recontagem de em , o número de termos de fica acrescido de uma unidade.
Como calcular o enésimo termo de ? Ou melhor, qual a fórmula do termo geral  ?
Para responder a esta pergunta, vamos primeiro enumerar as subsequências de acordo com o seu número de termos, da seguinte forma:

 
 
 
....................................  

Assim, a posição do termo genérico que finaliza uma subsequência em , é a soma dos índices de , ou seja
(1)

Logo, dado a posição de em ,  temos que calcular por intermédio de (1), que indicará em qual subsequência estará  .

No entanto, pode acontecer que (a), no caso de não finalizar uma subsequência . Logo, terá um valor entre o último termo de e o último termo  de , ou seja,

Assim, resolvendo a equação (1) na variável tendo em vista a condição (a) e sendo a raiz encontrada, consequentemente, , de forma que .
Se designar a parte inteira de , então o índice da subsequência no qual se encontra será

Veremos agora um exemplo esclarecedor. Observem a seguinte tabela:


Suponhamos que que queremos calcular o termo de posição  da sequência . Começamos indagando sobre o índice da subsequência . Para isto, temos que enquadrar entre os números triangulares 1,3,6 e 10 que representam as somas dos índices de . Basta resolver a equação

  
cuja solução positiva é, aproximadamente,  . Logo, 

 
e já sabemos que se encontra na quarta subsequência ( ).

Em seguida teremos que encontrar o índice (última linha da tabela) de , tendo em vista que .
Seja do termo de correspondente ao último termo da subsequência , ou seja, 


Assim, os quatro termos () de corresponderão aos índices . Portanto, é referente a . Logo, 

 

Podemos generalizar da sequinte forma.

O primeiro índice do termo de que inicia a  subsequência que contêm é . De fato, pois ;
O número de termos que vai de a é . Comprove: ;
E o enésimo termo de é

 
 
 


onde, 
  
é fornecido; 

;  e
 

Válido caso não seja um inteiro positivo. Caso seja, vale as fórmulas:  


, com  

 


EXEMPLOS


1) Calcular .  


Resolução  

 
 
 
 

 2) Calcular .


Resolução

   



_*_


Convido os leitores  a resolverem os problemas do post 058 .


Gostará de ler também:

015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses 
058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões 



Um comentário:

  1. Olá Aloisio,
    Agradeço por comentar esta sequência e colocar meu nome!
    Como tinha dito antes para vc em outra ocasião,esta sequencia teve origem em outra.Eu queria achar a formula do termo geral da soma da serie harmônica:1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n.E numa certa oportunidade,transformei esta soma em:1+(1/4+1/4)+(1/9+1/9+1/9)+(1/16+1/16+1/16+1/16)+....+(1/n^2+1/n^2+...+1/n^2).A qtd de termos dentro do parênteses é n.
    Então me fiz uma pergunta:É possível simplificar está soma para números mais simples?
    Dai surgiu:1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+1/4+1/4+1/4+1/4+....E se nao me falha a memória,a sequencia que vc comentou são restos de certa divisão.
    Você lembra de onde vem?Mistério!!kkkk
    Abraços.

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