ELEMENTOS: 099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)

O gráfico da função trigonométrica $(D=\mathbb{R})$ cuja lei de definição é $f(x)=sen^n \ x+cos^n \ x$ , com $n \in \left \{ 1,2,... \right \}$ , tem o seguinte formato.

Tipo $1$ . Para $n=1$ , ou $f(x)=sen \ x + cos \ x$ , estudada no post 87 :

Tipo $2$ . Para $n=2$ :

$f(x)=sen^2 \ x + cos^2 \ x=1$ .

Tipo $3$ . Para $n=2k+1$ , com $k=1,2,...$ :

$f(x)=sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x$ .

Tipo $4$ . Para $n=2(k+1)$ , com $k=1,2,...$ :

$f(x)=sen^{2(k+1)} \ x+cos^{2(k+1)} \ x$

Sobre o período destas funções, podemos dizer que:

a) $p=\pi$ , se $n > 2$ for par;

b) $p=2\pi$ , se $n$ for ímpar.

Neste artigo, estudaremos os gráficos de $f(x)=sen^n \ x+cos^n \ x$ , para potências ímpares iguais ou maiores que $3$ ( tipo $3$ ).

Considerações gerais sobre o gráfico da função definida por
$f(x)=sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x$ , para $k\geq 1$
Intersecção com os eixos coordenados

Colocando os gráficos de $f(x)=sen \ x + cos \ x$ e $f(x)=sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x$ $(k\geq 1)$ em um mesmo sistema de coordenadas ortogonais, podemos ter uma idéia inicial das principais semelhanças e diferenças entre estas funções. Observem.

À primeira vista, estas equações possuem as mesmas raízes ou zeros. Além disso, as duas curvas interceptam o eixo $y$ em um mesmo ponto. Mas enquanto $f(x)=sen \ x + cos \ x$ possui um máximo e um mínimo absolutos e periódicos, $f(x)=sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x$ possui três máximos locais e três mínimos locais periódicos.

Sobre as raízes,vejam que

$sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x=0 \Rightarrow$

$sen^{2k+1} \ x=-cos^{2k+1} \ x \Rightarrow$

$sen \ x=-cos \ x \Rightarrow$

$sen \ x+cos \ x=0$

e provamos que as duas equações em estudo possuem de fato, as mesmas raízes. Pelo post 87 sabemos que estas raízes são

$S=\left \{ ...-\frac{9\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{\pi}{4},+\frac{3\pi}{4},+\frac{7\pi}{4},+\frac{11\pi}{4},... \right \}$

Já o ponto de intersecção com o eixo $Oy$ terá abcissa $x=0$ e ordenada

$f(0)=sen^{2k+1} \ 0 +cos^{2k+1} \ 0=0+1=1$

Resumindo graficamente o que vimos até agora:

Pontos críticos de
$f(x)=sen^{2k+1} \ x+cos^{2k+1} \ x$ $(k\geq 1)$

Quando $x$ for a abcissa de um máximo ou de um mínimo, teremos a derivada $f^{'}(x)=0$ , ou seja,

$f^{'}(x)=(2k+1)sen^{2k} \ x \ cos \ x-(2k+1)cos^{2k} \ x \ sen \ x \Rightarrow$

$(2k+1)sen \ x \ cos \ x (sen ^{2k-1} \ x-cos ^{2k-1} \ x)=0$

Logo, dado $z \in \left \{-2,-1,0,+1,+2,...\right \}$ se verificará a derivada $f^{'}(x)=0$ toda vez que

$sen \ x= 0\Rightarrow x=z\pi$

$cos \ x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+z\pi$

$sen \ x=cos \ x\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+z\pi$

Selecionando as seguintes abcissas dos pontos críticos que estão limitadas em um período, temos

$0\leq \frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}<\pi<\frac{5\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}\leq 2\pi$

Assim,

$f(0)=1$

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=sen^{2k+1}\left(\frac{\pi}{4}\right)+cos^{2k+1}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2k+1} +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2^k}$

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=sen^{2k+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)+cos^{2k+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1^{2k+1}+0^{2k+1}=1$

$f(\pi)=sen^{2k+1} \ \pi+cos^{2k+1} \ \pi=0^{2k+1}+(-1)^{2k+1}=-1$

$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=sen^{2k+1}\left(\frac{5\pi}{4}\right)+cos^{2k+1}\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2k+1}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2k+1}=-\frac{\sqrt{2}}{2^k}$

$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=sen^{2k+1}\left(\frac{3\pi}{2}\right)+cos^{2k+1}\left(\frac{3\pi}{2}\right)=(-1)^{2k+1}+0^{2k+1}=-1$

Logo, para valores de $x$ (onde a derivada é zero ) iguais à

$0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}$

temos valores de $y$ iguais a

$1,\frac{\sqrt{2}}{2^k},1,-1,-\frac{\sqrt{2}}{2^k},-1$

respectivamente, que são as ordenadas dos pontos críticos da função no intervalo $[0,2\pi]$ em uma primeira repetição desta sequência. Segue o esboço do gráfico.

De forma que a imagem desta função é $Im=[-1,1]$ .

Evolução da função
$f(x)=sen^n \ x+cos^n \ x$
para $n=3,5,7,...,2k+1$

Se $k$ tender para o infinito, ou seja, $k \rightarrow \infty$ , teremos pontos limites periódicos de pontos críticos, todos contidos no eixo $Ox$ , tomando como exemplo, os dois seguintes no intervalo $[0,2\pi]$ :

$\lim_{k \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2^k} \right )=\left(\frac{\pi}{4},0 \right )$

$\lim_{k \rightarrow \infty}\left(\frac{5\pi}{4},-\frac{\sqrt{2}}{2^k} \right )=\left(\frac{5\pi}{4},0 \right )$

Desta forma, quanto maior for $n$ ímpar $n\geq 3$ ,os pontos críticos para as abcissas dos tipos $\frac{\pi}{4}+z\pi$ e $\frac{5\pi}{4}+z\pi$ tenderão a aproximar-se do eixo $Ox$ , sem interceptá-lo. Veja o diagrama.

Gostará de ler também:

087-Estudo da Função f(x)=sen x +cos x
028-Gráficos Cartesianos Algébricos
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais

Referência bibliográfica:

-Fundamentos de Matemática Elementar V1-Conjuntos-Funções, Atual Editora, $1994$ ;
-Fundamentos de Matemática Elementar V4-Trigonometria, Atual Editora, $1994$ .

2 comentários:

Francisco Valdir18 de dezembro de 2012 às 12:47
Olá, Aloísio!!!!

Parabéns!!!! Ótima postagem e... parece que você estava adivinhando que eu precisava dessas informações para desenvolver os módulos de aplicações do meu algoritmo!!!! Muito bom e... sorte minha, pois, aqui está tudo explicado, do modo como eu queria!!!! Muito bom!!!!

Mas, eu pergunto: vai ajudar ao Superman ou não vai???? Salvem a Terra, rsrsrsrs, da ameaça bizarra!!!!

Um abraço!!!!!
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Aloisio Teixeira18 de dezembro de 2012 às 20:42
Oi, Valdir!

Fico contente que tenha gostado. E ainda mais por ter colaborado com o seu algoritmo.

O mérito de estudar estas funções é que, quem o faz, recorda e exercita os conhecimentos trigonométricos. É uma maneira interessante de estudar. Por exemplo, a função f(x)=sen (x^2).

O Superman está pedindo ajuda??? Quem sou eu!!!??? rsrs Mas pode deixar que vou tentar resolver o seu desafio, Valdir.

Outro abraço e até mais!
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terça-feira, 18 de dezembro de 2012

099-Estudo da Função f(x)=s^(2k+1)+c^(2k+1)

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V.O