quinta-feira, 20 de dezembro de 2012

100-Teorema de Morley


"Em qualquer triângulo,
 os três pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes
 formam sempre um triângulo equilátero."  

Morley 


No link a seguir, podemos visualizar dinamicamente este teorema. Se o triângulo de Morley não aparecer imediatamente, cliquem em triângulos / áreas. Em seguida, cliquem em qualquer vértice do triângulo e mova-o: http://www.atractor.pt/mat/morley/index.htm

Um fato curioso sobre o teorema de Morley é que o mesmo foi aparentemente ignorado pelos geômetras antigos. Talvez um dos motivos que levaram os antigos a supostamente desconhecerem ou desprezarem esta singular relação da geometria plana foi devido ao fato de que os mesmos não eram muito afetados por questões cujos objetos relacionados não pudessem ser construtíveis pelos instrumentos euclidianos, no caso, a trissecção angular. 

Conjecturado em pelo matemático anglo-americano e expert em xadrez Frank Morley , a demonstração rigorosa só foi possível anos mais tarde,  de forma que o teorema pertence ao século . Em , o matemático francês Alain Connes, agraciado pela Medalha Fields por outro trabalho, forneceu uma nova demonstração para o teorema.

Morley foi professor de matemática no Quaker College em Haverford, Pensilvânia, Estados Unidos. Publicou  o livro Geometria Inversa em parceria com seu filho Frank.V.Morley.

Derrotou ocasionalmente o campeão mundial de xadrez da época, o filósofo e também matemático Dr. Emanuel Lasker. Assistam uma partida de Frank: http://www.chessgames.com/perl/chessgame?gid=1028111 . Assim, Morley figura na lista dos grandes matemáticos que jogaram e fizeram pesquisas sobre o xadrez. (ver lista )


 UMA DEMONSTRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Seja o triângulo . Os pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes geram o triângulo menor . O objetivo é provar que o mesmo é equilátero.

Ângulos relacionados
 
Para começar, calcularemos os ângulos ,, e .

 
 

 Analogamente,



Os cálculos dos ângulos ficam como desafio aos leitores.

 Respostas:

 



Identidade para


A seguinte identidade será útil . Junto com a lei dos senos, é um dos principais lemas do teorema.




Demonstração
  

 

Aplicando  ,

 

 Aplicando e onde houver arco duplo,


 



Fazendo , temos

 



Usando a identidade no segundo membro, temos

 





Fazendo , obtemos



No segundo membro e entre parênteses, usando ,chegamos a

 

Mas lembrem-se que os ângulos suplementares ( que somam ) possuem senos iguais ( pois um encontra-se no quadrante e o outro no quadrante do ciclo trigonométrico ). Portanto,




Substituindo este resultado na última expressão para , concluimos nossa demonstração para a identidade.


 


LEI DOS SENOS. Cálculo dos segmentos e .

 
Considerando o triângulo inscrito em um círculo de raio , temos, pela lei dos senos



onde tiramos  

Logo, pela identidade anteriormente provada, 


Aplicaremos agora a lei dos senos no triângulo , onde usaremos a expressão anterior de para encontrar uma outra para :

 




LEI DOS SENOS. Cálculo do lado e por extensão, dos lados e


Seja o triângulo EDC inscrito em um círculo de raio . Novamente, pela lei dos senos,






Calculado o raio , vamos ao lado :

 
 


Fizemos este cálculo em relação ao triângulo com base no ângulo .

O mesmo cálculo em relação ao triângulo com base no ângulo , chegaríamos à

  

E em relação ao triângulo e ângulo ,



De forma que e o triângulo é equilátero.




_*__*_ 



Informo aos leitores que esta é a última postagem do ano.
 Boas Festas e Feliz !




Referência Bibliográfica:
O Livro da Matemática, de Clifford A.Pickover, Editora Librero, ( pág ). 


Referência na net:

http://www.atractor.pt/mat/morley/index.htm
http://analgeomatica.files.wordpress.com/2008/11/geometryrevisited_coxetergreitzer_0883856190.pdf
http://www.learn-math.info/historyDetail.htm?id=Morley 

http://www.clubedexadrezonline.com.br/
http://www.chessgames.com/
http://pt.wikipedia.org/wiki/Emanuel_Lasker


Imagens:

GEOGEBRA
http://matemalescopio.over-blog.es/article-matematicos-del-dia-86117448.html
http://www.learn-math.info/historyDetail.htm?id=Morley 
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaG0pO24XtqJiAKvx_Ly0AcjXjzAFXC3Fm-MgRKCpRdjcDe7gp0KhQGO2-q3YbqCVSmhvAkHMk9VFXNc_O2sjH8IOVBivhLJaQyHQprWY-pciNxJqOIWA43XzeYdZyC9RHrfJg_e3oor4/s1600/xadrez.jpg 


 Gostará também de ler:

021-Média Harmônica
025-A Fórmula de Heron
038-Geometria e Gravidade
042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais
052-Generalização do Teorema de Viviani
064-Projeções
066-Polígono Regular Inscrito com Número de Lados n=2^k 

062-Rating FIDE/ELO
080-A Cor de uma Casa em Coordenada Algébrica no Tabuleiro de Xadrez 8x8





14 comentários:

  1. Esta foi a última postagem de grande impacto e muito bem escrita. Um teorema muito interessante provado com a boa e velha Trigonometria. Além disso, é a primeira vez que vejo enxadristas envolvidos em problemas matemáticos além de você. Parabéns pela postagem, feliz natal e um próspero ano novo.

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    1. Oi, Paulo!

      Acredito que deva existir muitos outros teoremas geométricos não descobertos, seja na geometria plana, espacial ou de mais dimensões.

      O xadrez é um jogo que tem mais de 2000 anos, a despeito da evolução da humanidade, continua encantando até hoje, principalmente aqueles que percebem a beleza da lógica.

      Obrigado, feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

      Um grande abraço.

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  2. Parabéns pela postagem. Teorema interessante, digno de um post número 100! Boas festas de fim de ano para você também. Esperamos o primeiro post de 2013!! Abraço.
    Pedro R.

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    1. Oi, Pedro!

      Entre o post 99 e 100 passou-se um dia, mas este último estava preparando há uns quatro dias.

      O teorema é daqueles de simples enunciado que junto com o diagrama ilustrativo, qualquer um entende e aprecia sua beleza.

      Obrigado, feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

      Um grande abraço.

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  3. Parabéns pelos seus estudos matemáticos, Aloisio!
    Apesar de eu acompanhar um pouco de longe, pois o conteúdo não está ao meu alcance, admiro bastante sua dedicação e profundidade. Foi muito bom conhecer mais este forte enxadrista amador e brilhante matemático.
    Um abraço!
    Adriano

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    1. Oi, Adriano!

      Que prazer pelo contato. Meu antigo mestre! Várias vezes Campeão Absoluto de Brasília,....

      Aprendi muito com vc e digo que meu melhor ano foi em 2005, sobre sua tutela.

      Obrigado, feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

      Um grande abraço.

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    2. Olá Aloísio, belíssimo trabalho este. Um teorema extremamente interessante e completamente desconhecido por mim até o momento. Gosto muito desses teoremas geométricos. O legal é que dá para conjecturar vários corolários, como mostra o primeiro link que você indicou.
      Obrigado por nos brindar com este belo artigo.
      Um grande abraço!

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    3. Oi, Kleber!

      É verdade, muitos corolários existem, inclusive generalizações para paralelogramos. Veja também que a matéria em PDF do segundo link é muito boa.

      O Dr. Emanuel Lasker, o campeão de xadrez citado, poderia ter produzido muita mais matemática boa, pois era um gênio. Infelizmente seus trabalhos foram discriminados por ser judeu alemão.

      Obrigado, feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

      Um grande abraço.

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  4. Oi Teixeira! Vamos ver se me livro de uns problemas que apareceram na minha vida e volto a visitar seu big-Blog. Na verdade tenho visitado mas é preciso estar com a cabeça OK. No meu curso um professor deu esse problema para a sala e ninguém resolveu (valia passar direto) mas não havia Internet. Bom Natal para você e sua família e bom ano também.

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  5. Oi, Tavano!

    Tenha fé que tudo vai dar certo!

    Acho que este seu antigo professor é muito malvado, rs. Já imaginou os rascunhos produzidos nas tentativas de resolução? Será que ele próprio sabia demonstrar sem consulta?

    Obrigado, Tavano, pela colaboração no meu blog, no qual se produziu excelentes artigos. Inicialmente, divulgava Elementos no Somatematica, mas deixei. No entanto, consegui atrair um peixe grande e de mão cheia!

    Um Feliz Natal, um próspero Ano Novo, para você , a família e um abraço no Luigi.

    Que 2013 seja pleno de realizações pessoais e profissionais !!

    Um grande abraço!

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  6. Mais uma belíssima demonstração, e uma grande novidade para mim. A geometria é realmente um campo muito fértil para aqueles que são criativos. Parabéns!
    Feliz natal, amigo Aloísio. Que Deus ilumine a sua família e 2013 seja um ano de muitas realizações e plenitude.
    Grande abraço.

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  7. Oi, Diogo!

    Obrigado! E também pelas sugestões de Física e Matemática!

    Tem outra demonstração ainda mais bela no segundo link que é um livro estrangeiro em PDF cujo nome é Geometry Revisited.

    Feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

    Um grande abraço, amigo!

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  8. Olá, Aloísio!!!!

    Esse é um Teorema que eu nunca tinha ouvido falar nele e no seu criador, como é mesmo???? O Morley!!!! Também, pelo que você, brilhantemente fez em sua demonstração, não foi Morleiza e... caramba!!! Meus parabéns, parceiro e vivesse você na Grécia antiga, sem sombras de dúvidas, seria aceito na escola pitagórica !!!!

    Que o Natal e o Ano novo lhes seja ainda mais carregados de felicidades, saúde , paz e sucessos!!!!

    Um abraço!!!!!

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  9. Oi, nobre Valdir!

    Fico imaginando como seria a descoberta deste teorema em plena Grécia Antiga. Se os gregos ficaram frustados pela existência do número irracional, então eles, com o teorema do post, ficariam ainda mais motivados a trissectar um ângulo que, como sabemos hoje em dia, é impossível com régua sem graduação e compasso. Daí seria uma nova frustação.

    Bem, se fosse para escolher o sábio grego, preferia ser discípulo de Arquimedes.

    Feliz natal e que tenha um ano novo com plenas realizações pessoais e profissionais.

    Um forte abraço!



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