1) Sejam , inteiros positivos e , números positivos. Considerem variável e constante. O valor máximo de é atingido quando
e
Demonstração. Substituindo na expressão para , temos
Usando a regra da derivada do produto e a regra da derivada da função composta, temos
Então a função tem três pontos críticos, pois verifica-se para
; ou
; ou
Da relação , temos que ou ou , respectivamente.
Assim, temos os únicos pontos críticos
, ,
sendo que o produto máximo ocorre com as coordenadas do terceiro, tendo em vista que as outras substituições resultam em nulo.
2) Em complemento ao post 069-Equações Incomuns da Reta, mostrarei como se chega à equação segmentária da reta, ou seja , onde é a abcissa do ponto de intersecção da reta com o eixo e é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo , conforme o gráfico a seguir.
Da equação geral da reta , com todos os coeficientes não-nulos, fazendo , temos que . Logo o ponto é a intercecção da reta com o eixo . Portanto ;
Por sua vez, fazendo na equação geral, obtemos . Logo o ponto é a intersecção da reta com o eixo . Portanto ;
Observem agora que
Dividindo, ambos os membros por :
3) Resposta do ítem dos exercícios propostos do post 073-Números de Fermat.
Nenhum número de Fermat , de índice , é a soma de dois primos.
Demonstração. Suponhamos que , com e , sendo dois primos.
Os números de Fermat são todos ímpares, logo, é soma de um número par com um número ímpar.
Assim, se , temos (ímpar) , o que implica:
onde, tendo em vista que , necessariamente temos
e
4) Se é o produto dos divisores de e é o número de divisores de , então
Demonstração. Os divisores de tanto podem ser expressos como quanto . Então, o produto destes divisores é
Observação . Se for primo, logicamente, e .
Observação . Tendo em vista que é sempre inteiro, toda vez que tivermos um número ímpar de divisores, ou seja, , então , um quadrado perfeito. Portanto,
( inteiro )
Gostará de ler também:
Referência bibiliográfica:
- Cálculo com Geometria Analítica, Volume , Simmons, Editora McGraw-Hill, ;
- Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .
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