sábado, 29 de setembro de 2012

075-MISCELÂNEA-II

1)  Sejam [;m;],[;n;] inteiros positivos  e [; x;],[;y;] números positivos. Considerem [;P=x^my^n;] variável e [;S=x+y;] constante. O valor máximo de [;P;] é atingido quando

[;x=\frac{mS}{m+n};]    e    [;y=\frac{nS}{m+n};]

Demonstração. Substituindo [;y=S-x;] na expressão para [;P;], temos

[;P=x^m(S-x)^n;] 

Usando a regra da derivada do produto e a regra da derivada da função composta, temos

[; P^'=mx^{m-1}(S-x)^n+ x^m.n(S-x)^{n-1}.(-1) \Rightarrow;]  

[;P^'=x^{m-1}(S-x)^{n-1}[m(S-x)-nx];] 

Então a função [;P;] tem três pontos críticos, pois verifica-se [;P^'=0;]  para

[;x^{m-1}=0 \Rightarrow;] [;x=0;]; ou

[;(S-x)^{n-1}=0 \Rightarrow S-x=0 \Rightarrow;] [;x=S;]; ou

[;m(S-x)-nx=0 \Rightarrow -(m+n)x+mS=0 \Rightarrow;] [;x=\frac{mS}{m+n};]

Da relação [;y=S-x;], temos que [;y=S;] ou  [;y=0;] ou [;y=\frac{nS}{m+n;], respectivamente.

Assim, temos os únicos pontos críticos

[;(0,S);], [;(S,0);],[;\left(\frac{mS}{m+n},\frac{nS}{m+n}\right);]

sendo que o produto máximo [;P=x^my^n;] ocorre com as coordenadas do terceiro, tendo em vista que as outras substituições resultam em [;P;] nulo.


2) Em complemento ao post 069-Equações Incomuns da Reta, mostrarei como se chega à  equação segmentária da reta, ou seja [;\frac{x}{A}+\frac{y}{B}=1;], onde [;A \neq 0;] é a abcissa do ponto de intersecção da reta com o eixo [; x;] e [;B \neq 0;] é  a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo [;y;], conforme o gráfico a seguir.


 
Da equação geral da reta [;ax+by+c=0;], com todos os coeficientes não-nulos,  fazendo [;x=0;], temos que [;by+c=0 \Rightarrow y=-\frac{c}{b};]. Logo o ponto[;\left(0, -\frac{c}{b} \right);] é a intercecção da reta com o eixo [;y;]. Portanto [;B=-\frac{c}{b};];

Por sua vez, fazendo [;y=0;]  na equação geral, obtemos [;ax+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{a};]. Logo o ponto [;\left(-\frac{c}{a},0\right);] é a intersecção da reta com o eixo [; x;]. Portanto [;A=-\frac{c}{a};];

Observem agora que

[;ax+by+c=0 \Rightarrow ax+by=-c;]

Dividindo, ambos os membros por [;-c;]:

[;-\frac{a}{c}.x-\frac{b}{c}.y=1 \Rightarrow \frac{x}{-(c/a)}+\frac{y}{-(c/b)}=1 \Rightarrow;]

[;\frac{x}{A}+\frac{y}{B}=1;]


3) Resposta do ítem [;1);] dos exercícios propostos do post 073-Números de Fermat.

Nenhum número de Fermat [;F_n=2^{2^n}+1;], de índice [;n>1;], é a soma de dois primos.

Demonstração. Suponhamos que [;F_n=p+q;], com [;n>1;] e [;p;], [;q;] sendo dois primos.

Os números de Fermat são todos ímpares, logo, é soma de um número par com um número ímpar.

Assim, se [;p=2;], temos [;q;] (ímpar) [;>2;], o que implica:

[;q=F_n-2\Rightarrow;]

[;q=2^{2^n}-1\Rightarrow;]

[;q=(2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-1}}-1);] 

onde, tendo em vista que [;n>1;], necessariamente temos

[;2^{2^{n-1}}+1 \geq 5;] e [;2^{2^{n-1}}-1 \geq 3;]

de forma que [;q;] é composto, contradizendo a suposição inicial.


4) Se [;p(n);] é o produto dos divisores de [;n;]e [;d(n);] é o número de divisores de [;n;], então

[;p(n)=\sqrt{n^{d(n)};]

Demonstração. Os divisores de [;n;] tanto podem ser expressos como [;d_1,d_2,...,d_{d(n)};] quanto [;\frac{n}{d_1},\frac{n}{d_2},...,\frac{n}{d_{d(n)};]. Então, o produto destes divisores é

[;p(n)=d_1.d_2...d_{d(n)}=\frac{n}{d_1}.\frac{n}{d_2} \ ... \ \frac{n}{d_{d(n)}} \Rightarrow;] 

[;p(n)=\frac{n^{d(n)}}{p(n)} \Rightarrow;] 

[;p(n)=\sqrt{n^{d(n)};] 

Observação [;1;]. Se [;n;] for primo, logicamente, [;d(n)=2;] e [;p(n)=n;].

Observação [;2;] . Tendo em vista que [;p(n);] é sempre inteiro, toda vez que tivermos um número ímpar de divisores, ou seja, [;d(n)=2m+1;], então [;n=a^2;], um quadrado perfeito. Portanto,

[;p(n)=\sqr{(a^2)^{2m+1}}=\sqr{(a^{2m+1})^{2}}=a^{2m+1};] ( inteiro )


Gostará de ler também:



Referência bibiliográfica:

- Cálculo com Geometria Analítica, Volume [;I;], Simmons, Editora McGraw-Hill, [;1987;];
- Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, [;1988;].


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