quarta-feira, 7 de março de 2012

023-Números Perfeitos II


Relativo ao inteiro positivo [;n;], [;D(n)=\left{d_1=1,d_2,d_3,...,d_{s-1},d_s=n \right};] é o conjunto dos seus divisores e [;S(n);] é a soma destes divisores. [;n;]é considerado um número perfeito toda vez que

[;1+d_2+d_3+...+d_{s-1}=n;], ou seja

[;S(n)-n=n \Rightarrow;] 

[;S(n)=2n;] 

Portanto, número perfeito é todo número que é a soma de seus divisores [;< n;] ou 
              número perfeito é o número cuja soma dos divisores é o dobro do mesmo.

Conclui-se que um número perfeito nunca pode ser um primo [;p;] porque [;S(p)=1+p \neq 2p;], para todo [;p;].

Eis os [;5;] primeiros números perfeitos: 

 [;P_1=6;] , [;P_2=28;], [;P_3=496;], [;P_4=8.128;] e [;P_5=33.550.336;]

Observe que [;P_m;] fica radicalmente maior a medida que o índice [;m;] cresce, tornando os números perfeitos cada vez mais penosos de serem encontrados.

Conjectura-se que todos os números perfeitos são pares e, embora seja uma questão antiga, ainda é aberta. O que se sabe é que, de acordo com os pesquisadores, se existir números perfeitos ímpares, o primeiro é muito grande [;> 10^{50};] .

Teorema ( Fórmula de Euclides ): Dado [;k \in \mathbb{N};], se [;2^k -1;] for um primo, então

[;n=2^{k-1}(2^k-1);] é um número perfeito. 

Demonstração 1: suponha [;2^k-1=p;] um primo. a soma dos divisores de [;2^{k-1}p;] é 

[;S(n)=S[2^{k-1}(2^k-1)]=S(2^{k-1}p)=(1+2+2^2+...+2^{k-1})+(p+2p+2^2p+...+2^{k-1}p)=;]
[;=\frac{1.(2^k-1)}{2-1}+p \left[\frac{1.(2^k-1)}{2-1}\right]=p+p^2=(1+p)p=2^k(2^k-1)=2.2^{k-1}(2^k-1)=2n;] 

Demonstração 2: a função [;S(n)=;] é uma função aritmética multiplicativa. Isto quer dizer que , para [;mdc(a,b)=1;] , temos [;S(ab)=S(a)S(b);]. Ora, [;mdc(2^{k-1},p)=1;]. Logo, 

[;S(n)= S(2^{k-1}p)=S(2^{k-1})S(p)=(2^k-1)(p+1)=(2^k-1)(2^k)=2n;]

_*_

Observe que a fórmula [;P_m=2^{k-1}(2^k-1);] não relaciona o  índice [;m;]  com o expoente [;k;]. Esta é uma dificuldade para achar números perfeitos grandes. A tarefa diretora é achar um inteiro [;k;]de forma que [;2^k-1;] seja um primo. Isso só pode ser feito por inspeção.

O interessante é que, toda vez que [;2^k-1;]  é primo, [;k;]também é. Desafortunadamente, a recíproca não é verdadeira. Se valesse a recíproca, bastava qualquer primo [;k;]para [;2^k-1;] ser primo e [;2^{k-1}(2^k-1);] ser perfeito...

Teorema: Se o inteiro [;2^k-1;] é primo, então [;k;]é primo.

Demonstração: Vamos supor que [;k;]seja composto. Neste caso, devem existir inteiros [;u>1;] e [;v>1;], onde [;k=uv;], o que implica

[;2^k-1=2^{uv}-1=(2^u)^v-1;] 

No conhecido somatório de [;PG;], [;\frac{a^w-1}{a-1}=1+a+a^2+...+a^{w-1};] , fazendo [;a=2^u;] e [;w=v;], temos  

[;2^k-1=(2^u)^v-1=(2^u-1)[1+2^u+2^{2u}+...+2^{u(w-1)}];]

Percebe-se que, como [;u>1;],  os dois fatores da direita são ambos [;>1;]. Isto contradiz a hipótese do teorema que diz que [;2^k-1;] é primo. Logo, a suposição de que [;k;]seja  composto  não se sustenta. [;k;]é primo!

_*_

Verifica-se que para os primos [;k=2,3,5,7,13;] temos os também primos [;2^k-1=3,7,31,127,8.191;] que fornece os [;5;] números perfeitos listados acima [;2^{k-1}(2^k-1)=6,28,496,8.128,33.550.336;]

Embora a fórmula de Euclides remonta à antiguidade, o [;6^o;] e o [;7^o;] números perfeitos só foram descobertos em [;1603;] pelo matemático italiano Pietro Cataldi: [;P_6=8.589.869.056;] e [;P_7=137.438.691.328;]Atualmente são conhecidos apenas pouco mais que [;27;]números perfeitos, onde os últimos são relativos à números primos enormes. Se estes primos são grandes, imagine os números perfeitos correspondentes...

Curiosidades:  - Todo número perfeito par termina em [;6;]  ou [;8;];
- Sendo [;2^k-1;] primo, este número é conhecido como primo de Mersenne ( [;1588-1648;] ).

[;\rightarrow;] Para quem quiser saber como Euclides de Alexandria descobriu a sua fórmula, clique em Números Perfeitos
[;\rightarrow;] Para quem quiser ver a demonstração de que se [;mdc(a,b)=1;] e se [;S(ab);] ,[;S(a);]  e [;S(b);] são a soma dos divisores de [;ab;] , [;a;] e [;b;], respectivamente, então [;S(ab)=S(a)S(b);], clique em Funções Aritméticas Multiplicativas


BIBLIOGRAFIA 

           - Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
           - Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1967
           - História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, 1974.

Imagem: http://br.freepik.com/fotos-popular

9 comentários:

  1. Diria que este post ficou "perfeito"! Achei bem completo, com teoremas, demonstrações, contexto histórico.

    Quer dizer que só podemos encontrar números perfeitos por experimentação? Um tarefa realmente difícil quando [;m;] cresce. Se para o 5º número perfeito temos 8.589.869.056, imagine o vigésimo sétimo!

    Um abraço!

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    1. Olá, Kleber,

      A fórmula de Euclides fornece um caminho bom, sem calcular os divisores diretamente para depois somá-los. Mas tem a limitação de não ser direta, ou seja, o número perfeito não é dado em função do seu índice. Hoje em dia, com o advento dos computadores, a cada novo primo da forma [;2^k-1;] encontrado ( pois o que se busca hj em dia, na verdade, é números primos grandes e não números perfeitos )automaticamente se acha um número perfeito da forma [;2^{k-1}(2^k-1);].

      Obrigado pelas correções de digitação.

      Um abraço!

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  2. Oi Teixeira! Desculpe se eu for causar algum mal-entendido ou for repetitivo, Olhe este problema: Seja n=pq perfeito e sejam p e q primos, mostre que n=6. Sugestão:S(n)=(1+q)(1+p)=1+p+q+pq=2pq => pq-p-q=1, aí é só resolver esta equação diofantina teixeiriana do segundo grau e encontrar p=2 e q=3(ou vice- versa). Obrigado

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    1. Puxa, que maravilha, hem, Tavano!! Uma verdadeira pérola! Parabéns, amigo! Teria como enviar seu nome, sobrenome e cidade onde reside p/ meu email?

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  3. Olá Aloisio, meu nome é Bárbara Fernanda, e faço um curso em que tenho que resolver uma tarefa até às 23:00h de hoje e esta tarefa é sobre este assunto publicado em seu blog, queria saber se teria como fazer contato com o senhor por e-mail ou algo do tipo para que eu entenda melhor sobre este assunto.
    Se puder me responda o mais rápido possível.
    Desde já agradeço...

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    1. Oi, Bárbara,

      Desculpe, por enquanto, estou sem tempo para dar aulas online.

      Atenciosamente

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    2. Tudo bem então. :(
      Mesmo assim agradeço...

      Att.Bárbara Fernanda.

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  4. Saudações, Aloísio Teixeira e todo mundo ...

    Vocês já ouviram falar da Conjectura de Oystein Ore [matemático norueguês] sobre os números divisores harmônicos ?? Se esta conjectura for verdadeira, ela implica que os "números perfeitos ímpares" não existem !!!

    Desde já grato por tudo ...

    Tchau

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  5. Oi, Skox,

    Não conheço esta conjectura, mas vou dar uma pesquisada nela. Era suspeito que os números perfeitos ímpares não existissem mesmo. Mas, em matemática, suspeita não é suficiente e a demonstração da conjectura de Oystein dará um fim à procura de números perfeitos ímpares.

    Obrigado pela participação.

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